Control De Nivel

Modelado y simulaci´on de un proceso de nivel
Carlos Gaviria
Febrero 14, 2007

Introduction
El prop´osito de este sencillo ejercicio es el de familiarizar al estudiante con
alguna terminolog´ıa del control procesos, la obtenci´on de modelos din´amicos y
su simulaci´on mediante MatLab.
Un sistema es una entidad material formada por partes organizadas (o sus ”componentes”) que interact´
uan entres´ı de manera que las propiedades del conjunto,
sin contradecirlas, no pueden deducirse por completo de las propiedades de las
partes.
Los sistemas reales intercambian con su entorno energ´ıa, informaci´on y, en la
mayor parte de los casos, tambi´en materia. Como un ejemplo de sistema, consideremos el proceso de nivel de un tanque de almacenamiento de fluido indicado
en la 1.
Qi

h

(1)
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A

l

Qo
D

Figura 1: Proceso de Nivel de un tanque.
En el sistema de la figura 1 se distingue:
qi , qo : Caudal o flujo volum´etrico, que expresa el cambio de volumen del fluido
porunidad de tiempo. Los sub´ındices i y o denotan entrada y salida respectivamente. qi es conocido y qo es desconocido.
h: Es el nivel del l´ıquido en el tanque.
D: Es el di´ametro del tubo de salida.
S: Es el a´rea de la secci´on del tubo de salida.
1

ρ: Es la densidad del l´ıquido.
A: Es el a´rea de la secci´on del tanque.
l: Longitud del tubo en la salida.
En este proceso se desea obtener unmodelo din´
amico del nivel en el tanque. Un
modelo din´amico expresa c´omo es el cambio de una variable f´ısica (en este caso
el nivel) en funci´on del tiempo. Para ello es necesario acudir al conocimiento de
las leyes f´ısicas que gobiernan el proceso. El contenido del resto de este art´ıculo
es como sigue. En la secci´on 1 se describir´a la obtenci´on del modelo din´amico del
sistema a partir deleyes f´ısicas b´asicas. En la secci´on 2 se describir´a el proceso
de simulaci´on de este sistema en MatLab.

1.

Modelo din´
amico del nivel

Dos de las leyes f´ısicas m´as utilizadas en la obtenci´on de un modelo din´amico
de un sistema son las leyes de balance de masa y balance de la energ´ıa.

1.1.

Balance de masa

Se puede expresar la ley de balance de masa como:
Velocidad de acumulaci´onFlujo de masa que
Flujo de masa que
=
−
de la masa en el sistema
entra al sistema
sale del sistema
Lo anterior matem´aticamente se describe como,
dm
= ρ 1 qi − ρ 2 qo
(1)
dt
Ya que no hay cambio de densidad del l´ıquido durante el proceso, ρ1 = ρ2 = ρ.
La masa acumulada en el tanque puede calcularse como m = ρV , siendo V =
A.h(t) el volumen del l´ıquido almacenado (note que h es funci´on deltiempo).
Luego,
dh(t)
dm
=A
= qi − qo
(2)
dt
dt
La ecuaci´on (2) describe la din´amica del nivel h(t). Ya que qi es conocido y es la
entrada del sistema, solo hace falta conocer una relaci´on para qo . Esta relaci´on
la podemos establecer mediante un balance de energ´ıa.

1.2.

Balance de energ´ıa

Se puede expresar la ley de balance de energ´ıa como:
Velocidad de acumulaci´on
energ´ıa en el sistema=

Flujo de energ´ıa
Flujo de energ´ıa
−
que entra al sistema
que sale del sistema

Lo anterior matem´aticamente se describe como,
dE1
dE2
dE
=
−
dt
dt
dt
2

(3)

Donde el sub´ındice 1 y 2 indican los valores en los puntos (1) y (2) en la figura
1. La energ´ıa en este sistema particular est´a comprendida por la energ´ıa cin´etica
K = 21 mv 2 y Φ = mgz, siendo z el nivel sobre la referencia.
Laecuaci´on de balance de energ´ıa (3)en el sistema de nivel del tanque entonces es:
d( 1 mv 2 + mgz1 ) d( 21 mv22 + mgz2 )
dE
= 2 1
−
dt
dt
dt

(4)

En el sistema en r´egimen permanente se debe cumplir dE
dt = 0, y teniendo en
cuenta que en este caso v1 = 0 con lo que la ecuaci´on 4 se convierte en:
1 2
v = g(z2 − z1 ); → v2 =
2 2

2gh

(5)

Es f´acil ver que,
S.dl
dV2
=
= Sv2 .
(6)
dt
dt...