Control Digital

Capítulo 1 Elementos preliminares del control digital
1.1 Principios de diferencias finitas

Consideremos la siguiente ecuación diferencial d2 d f (t) + f (t) + f (t) = 0. (1.1) 2 dt dt Introduciendo la notación auxiliar, conocida como cambio canónico de variables, tal que x1 (t) = f (t), (1.2) d x2 (t) = f (t); (1.3) dt obtedremos la forma canónica controlable de la ecuación diferencial(1.1), esto es d x1 (t) = x2 (t), (1.4) dt d x2 (t) = −x2 (t) − x1 (t). (1.5) dt Para emplear el metodo de diferencias finitas, es necesario evocar la definicion de una derivada: d f (t + ∆t) − f (t) f (t) = lim , ∆t→ 0 dt ∆t 1

2CAPÍTULO 1. ELEMENTOS PRELIMINARES DEL CONTROL DIGITAL considerando que ∆t tiende a un valor positivo diferente de cero. Entonces, el sistema (1.5) se reescribe de la formax1 (t + ∆t) − x1 (t) = x2 (t), ∆t x2 (t + ∆t) − x2 (t) = −x2 (t) − x1 (t). ∆t En código para MATLAB esto se escribe como: clear all clc close all J = 1; B = 0.1;, K = 1; % Parámetro de control Dt = 1e-3; N = 1e4; x1 = zeros(N,1); x1(1)=0; % condiciones iniciales x2 = zeros(N,1); x2(1)=0; % condiciones iniciales for n=1 : N-1 x1(n+1) = Dt.* x2(n)+x1(n); x2(n+1) = Dt.* (-B/J * x2(n) - K/J * x1 (n) +K * 1) +x2(n); end t = 0: Dt:(N-1)*Dt; plot(t,x1); grid on La gráfica producida por MATLAB (1.6) (1.7)

1.1. PRINCIPIOS DE DIFERENCIAS FINITAS

3

Figura 1.1: Ejemplo de un sistema subamortiguado

Capítulo 2 Ecuación Tridimensional.
Consideremos la siguiente ecuación diferencial

m

d d2 f (t) + b f (t) + kf (t) = 0. 2 dt dt

(2.1)

Forma canónica controlable de la ecuacióndiferencial.

d x1 (t) = x2 (t) dt d b k x2 (t) = − x2 (t) − x1 (t). dt m m

(2.2) (2.3)

Forma en diferencias finitas x1 (t + ∆t) − x1 (t) = x2 (t), ∆t x2 (t + ∆t) − x2 (t) b k = x2 (t) − x1 (t). ∆t m m 4

(2.4) (2.5)

5

Capítulo 3 Ecuación que describe el comportamiento de un péndulo.
Consideremos la siguiente ecuación diferencial. g d2 Θ(t) = − sin x1 (t). 2 dt l Forma canónicacontrolable de la ecuación diferencial d x1 (t) = x2 (t) dt d g x2 (t) = − sinx1 (t). dt l Forma en diferencias finitas x1 (t + ∆t) − x1 (t) = x2 (t), ∆t x2 (t + ∆t) − x2 (t) g = − sinx1 (t). ∆t l En código de Matlab esto se escribe como: clear all clc close all N=50; benoit=zeros(1,N); c=0.22; 6 (3.4) (3.5) (3.1)

(3.2) (3.3)

7 x=c; for n=1:N x=x*x+c; benoit(n)=x; end plot(benoit); grid on;Capítulo 4 Principios de digitalizacíon para diagramas de bloques.
Consideremos la siguiente ecuación diferencial de un sistema lineal e invariante en el tiempo Θ(s) (s + 1)x(s) = (4.1) 2 + s + 1)x(s) (s I(s) Forma canónica controlable de la ecuación diferencial,donde separamos input y output (s + 1)x(s) = Θ(s) (s2 + s + 1)x(s) = I(s) Derivando output y aplicando la transformada de Laplacetenemos: L[ d x(t)] = SL[x(t)] − x(O) dt (4.4) (4.2) (4.3)

Teniendo la siguiente ecuación: L[ d x(t)] + L[x(t)] = L[O(t)] dt (4.5)

Transformando según la ecuación (4.5) tenemos: SL[x(t)] − x(0) + L[x(t)] = L[O(t)] (4.6)

8

9 En la teoría de Control las condiciones iniciales se desprecian Quitando esta condición nos queda: SL[x(t)] + L[x(t)] = L[O(t)] Factorizando la ecuación (S + 1)L[x(t)] =L[O(t)] Y nos queda: X(s) = L[x(t)] O(s) = L[o(t)] Finalmente llegamos a la siguiente expresión: (S + 1)X(s) = O(s) (4.11) (4.9) (4.10) (4.8) (4.7)

Plantenado la siguiente ecuación diferencial con una entrada i(t)=K (escalón),donde i(t)=K=1 d2 d + + x(t) = i(t) dt dt Con el cambio de variable canónico tenemos que: y1 = x(t)y2 = d x(t) dt (4.13) (4.12)

De esta forma nos queda la siguienteecuación: d d y1 (t) = y2 (t) y2 (t) = −y2 (t) − y1 (t) + 1 dt dt (4.14)

Capítulo 5 Dimensión Fragtada
5.1 Primer paso de Teoría del Caos
x2 + C (x2 + C)2 + C (5.1) (5.2)

5.2

Otro ejemplo
f= gdx (5.3) (5.4)

dg f (t + ∆t) − f (t) =g = g(t) dx ∆t clear all clc close all N=150; benoit=zeros(1,N); c=-2+0.1; x=c; for n=1:N x=x*x+c; benoit(n)=x; end 10

5.2. OTRO EJEMPLO plot(benoit);...