Convulucion

MARCO TEÓRICO
SISTEMAS LIT DISCRETOS: LA SUMA DE CONVOLUCIÓN
Se expresa con la ecuación:

Este resultado se conoce como la suma de convolución o suma de superposición y la operación en el lado derecho de la ecuación anterior se conoce como la convolución de las secuencias x[n] y h[n] y que se representará simbólicamente por y [ n]  x[ n] h[ n] .La ecuación anterior expresa larespuesta de un sistema LIT a una entrada arbitraria en función de su respuesta al impulso unitario.


Fig. 1
La interpretación de la ecuación de la suma de convolución es que la respuesta debida a la entrada x[k] en el instante k es x k  hn  k  , y ésta es sencillamente una versión desplazada y escalada de h[n]. La respuesta real es la superposición de todas estas respuestas. Para cualquierinstante fijo n, la salida y[n] consiste de la suma para todos los valores de k de los números x k  hn  k  . Como se ilustra en la Fig. 1 esta interpretación es una forma útil de visualizar el cálculo de la respuesta usando la suma de convolución.
Específicamente, considerando el cálculo de la respuesta para algún valor específico de n. Se observa que h [n  k] se obtuvo mediante unareflexión en torno al origen seguida por un desplazamiento en el tiempo. En la Fig. 1a se muestra h[k] y en la Fig. 1b se muestra h [n  k] como una función de k con n fija. En la Fig. 1c se ilustra x[k]. La salida para este valor específico de n se calcula entonces ponderando
La suma de convolución está compuesta de cuatro operaciones básicas:
Tomar la imagen especular de h [k] sobre el ejevertical a través del origen para obtener h [  k].
Desplazar h [ n] en una cantidad igual al valor de n, en donde la secuencia de salida se evalúa para calcular h [ n  k].
Multiplicar la secuencia desplazada h [ n  k] por la secuencia de entrada x [ k].

Sumar la secuencia de valores resultantes para obtener el valor de la convolución en n.
Los pasos 1 a 4 se repiten conforme n varía de  a +para producir toda la salida h [ n].
PROPIEDADES DE LA SUMA DE CONVOLUCIÓN
La primera propiedad básica de la suma de convolución es:
x[ n] h [ n]  h [ n] x[ n]
Por lo que:

Una segunda propiedad útil de la convolución es que es asociativa, es decir,

Por tanto:

Una tercera propiedad de la convolución es la distributiva con respecto a la suma, es decir,
x[ n] h1 [ n]  h2 [ n]   x[ n] h1 [ n]  x[ n] h2 [ n]
SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO: LA INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
Un sistema lineal se describe en términos de su respuesta al impulso, la cual se define como la respuesta del sistema (con cero condiciones iniciales) a una función impulso unitario o función delta (t) aplicada a la entrada del sistema. Si el sistema es invariable en el tiempo, entonces la forma de la respuestaal impulso es la misma sin importar cuando se aplica el impulso unitario al sistema.
Se expresa así:

La ecuación anterior indica que un sistema LIT de tiempo continuo está completamente caracterizado por su respuesta al impulso h ( t) y se conoce como la integral de convolución o la integral de superposición y es la contraparte de la ecuación para la convolución en tiempo discreto. Tenemosentonces el resultado fundamental que la salida de cualquier sistema LIT de tiempo continuo es la convolución de la entrada x ( t) con la respuesta al impulso h ( t) del sistema. La respuesta a cualquier entrada x(t) puede calcularse usando la integral de la ecuación anterior. La Fig. 2 ilustra esta definición.


Fig. 2
La convolución de dos señales x ( t) y h ( t) se representará simbólicamente por
y(t )  x (t )  h (t )
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
La convolución en tiempo continuo satisface las mismas propiedades que la convolución de tiempo discreto
Conmutativa:

Asociativa:

Distributiva:

EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
El cálculo de la integral de convolución involucra los cuatro pasos siguientes:
1. La respuesta al impulso h ( ) es invertida en el tiempo (es...