Cosas

Álgebra y Geometría Analítica – Cónicas: Hipérbola - 2014

HIPÉRBOLA
Definición
Dados dos puntos fijos llamados focos se llama hipérbola al conjunto de puntos del plano
P( x; y ) tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es igual a
una constante positiva llamada 2a .
En símbolos:

H ( O, F1, F2 ) =

{ P ( x; y ) ∈ R

2

/ d ( P, F1 ) − d ( P, F2 ) =2a

}

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
Centro de Simetría: Origen de coordenadas O
Ejes de Simetría: el eje real o transverso: Eje x y el eje imaginario o conjugado: Eje y
Focos: F1 , F2
donde F1 F2 = 2c diámetro focal

Vértices Reales: V1 , V2

donde

V1V2 = 2a diámetro real

Vértices Imaginarios: B1 , B2

donde

B1 B2 = 2b diámetro imaginario

Lado Recto: L1 L2 es la cuerdaperpendicular al eje focal por cada uno de los focos, su
2b 2
a
Relación Pitagórica: c 2 = a 2 + b 2
Nota: en una hipérbola, siempre: c > a
Nota: en una hipérbola, puede suceder que: a > b, a < b ó a = b
c
Excentricidad: e =
En la hipérbola : e > 1 ¿Por qué?
a
Directrices de la hipérbola: Es el par de rectas perpendiculares al eje focal tales que la
a2
a
distancia de cada una de ellas alcentro de simetría es igual a
ó bien
e
c

longitud es: L1 L2 =

1

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Rectángulo Base: Es el rectángulo que se observa marcado en la figura de la derecha. En
este rectángulo los vértices, reales e imaginarios de la hipérbola, son los puntos medios de
los lados. Su importancia está dada porque las rectas que incluyen a lasdiagonales del
rectángulo son las rectas que se nombran como asíntotas de la hipérbola.
Asíntotas: Ecuación de cada una ellas: = e, = −
Observación: En este caso, las rectas pasan por el origen de coordenadas y el valor de la
pendiente se deduce de las medidas que adoptan el semidiámetro real y el semidiámetro
imaginario
Nota: En un apartado trataremos este tema con más detalle.
Observación:La deducción de la ecuación canónica de la hipérbola puede desarrollarse a
partir de procedimientos similares a los de la deducción hecha para la elipse.
La ecuación canónica de una hipérbola de las características antes detalladas es:
Ecuación Canónica de la Hipérbola cuyo Eje Real coincide con el eje x:

−

=1

+

=1

En cambio, si consideramos las siguientes características:Centro de simetría 0; 0 , Ejes de Simetría: eje x y eje y, Eje mayor real al eje y y eje
focal incluido en él. Eje imaginario al eje x y, Coordenadas de los Focos
0; −
y
0; . Además, establecemos como condición que: >
Bajo estas condiciones:
Ecuación Canónica de la Hipérbola cuyo Eje Real coincide con el eje y: −

Cuyo gráfico genérico ofrecemos a continuación:

2

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x2 y2
−
= 1,
9 16
Obtener las coordenadas de los vértices, real e imaginario, las coordenadas de los
focos, la excentricidad, las ecuaciones de las directrices y la longitud del lado recto.
x2 y2
Solución: la ecuación corresponde a la forma 2 − 2 = 1 el centro de la hipérbola está en
a
b
2
2
el origen y el eje real es el eje x. Como a = 9 y b = 16 ,a = 3 y b = 4 .
Por consiguiente, los vértices están en V1 (3;0) y V2 (− 3;0)
La longitud del eje real (también llamado transverso) es 2a = 6
La longitud del eje imaginario (también llamado conjugado) es 2b = 8 .
Puesto que b 2 = c 2 − a 2 , con c > 0 , se tiene:
16 = c 2 − 9 ⇒ c 2 = 25 ⇒ c = 5
Así que los focos están en F1 (5;0) y F2 (− 5;0) .

Ejemplo 1: Consideremos una hipérbola cuyaecuación es:

Luego, la excentricidad es: = = > 1
Entonces, las ecuaciones de las directrices son:
"
:
→ :
y
:
→ :

"

Y por último calculamos la longitud del lado recto: #



$ % &$

'

Gráficamente:

d1

d2

B1
Lado Recto
F2

b=4
V2

V1

F1

a =3

B2

3

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ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA

a...