Criterio De Sylvester Para Una Forma Cuadrática

Criterio de Sylvester de que una forma cuadr´tica es positiva definida a
Objetivos. Conocer el criterio de Sylvester, esto es, describir cuando una forma cuadr´tia ca es positiva definida en t´rminos de menores de su matriz. Tambi´n determinar cuando e e una forma cuadr´tica es negativa definida, positiva semidefinida, negativa semidefinida y a no definida. Practicar estos criterios con muchosejemplos num´ricos. e Requisitos. Matriz de una forma cuadr´tica, m´todo matricial de diagonalizaci´n de a e o formas cuadr´ticas. a 1. Definici´n (menores principales de una matriz cuadrada). Sean A ∈ Mn (R), o k ∈ {1, . . . , n}, 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n. Menor principal de A ubicado en las filas y columnas con ´ ındices i1 , . . . , ik se define mediante la siguiente f´rmula: o δi1 ,...,ik (A) := MAi1 , . . . , i k i1 , . . . , i k = det A{i1 ,...,ik },{i1 ,...,ik } .

El n´mero k se denomina ´rden o tama˜o de menor. u o n 2. Ejemplo. Escribamos el menor principal con ´ ındices 2, 4, 5 de una matriz general A ∈ M5 (R). Indiquemos en la matriz A los elementos que van a formar este menor:   A1,1 A1,2 A1,3 A1,4 A1,5  A2,1 A2,2 A2,3 A2,4 A2,5    A =  A3,1 A3,2 A3,3 A3,4 A3,5  .   A4,1 A4,2 A4,3 A4,4 A4,5  A5,1 A5,2 A5,3 A5,4 A5,5 De all´ ı δ2,4,5 (A) = A2,2 A2,4 A2,5 A4,2 A4,4 A4,5 . A5,2 A5,4 A5,5

3. Definici´n (menores de esquina de una matriz cuadrada). Sean A ∈ Mn (R), o k ∈ {1, . . . , n}. El Menor de esquina o sea el menor principal l´der de k-´simo orden de A ı e se define como el menor principal que est´ en la intersecci´n de los primeros k renglones a o yprimeras k columnas de la matriz A: ∆k (A) = δ1,...,k (A) = det A{1,...,k},{1,...,k} . 4. Observaci´n. Una matriz cuadrada de orden n tiene n menores de esquina de ordenes o 1, . . . , n. El n´mero de menores principales de orden k es n . El n´mero total de menores u u k n principales de ordenes 1, . . . , n es 2 − 1. Es c´modo pensar que el conjunto de ´ ´ o ındices vac´ corresponde al menor vac´ cuyovalor es 1: ∆0 (A) = δ∅ (A) = 1. ıo ıo p´gina 1 de 6 a

5. Ejemplo. Consideremos menores principales y menores de esquina de la matriz   2 −7 1 4 8 . A= 5 −1 3 6 Menores de esquina: ∆1 (A) = 2, Menores principales: δ1 (A) = 2, δ1,2 (A) = 2 −7 5 4 = 43, δ2 (A) = 4, δ1,3 (A) = 2 1 −1 6 = 13, δ3 (A) = 6, δ2,3 (A) = 4 8 3 6 = 0, ∆2 (A) = 2 −7 5 4 = 43, ∆3 (A) = det(A) = 285.

δ1,2,3 (A) =det(A) = 285.

Criterio de Sylvester de que q > 0
6. Teorema (criterio de Sylvester de que una forma cuadr´tica es positiva a definida). Sean V un espacio vectorial real de dimensi´n n, q ∈ Q(V ), E una base de V . o Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) q > 0, esto es, q(x) > 0 para todo x ∈ V \ {0}. (b) todos los menores principales de qE son positivos: ∀I ⊆ {1, . . . , n} δI(qE ) > 0.

(c) todos los menores de esquina de la matriz qE son positivos: para todo k ∈ {1, . . . , n}, ∆k (qE ) > 0. Idea de la demostraci´n. La demostraci´n de la implicaci´n (a)⇒(b) est´ basada en dos o o o a lemas. El primer lema dice que el determinante de la matriz asociada a una forma cuadr´tia ca positiva definida es positivo. El segundo lema dice que la matriz asociada a la formacuadr´tica restringida al subespacio generado por los primeros k vectores de la base es la a submatriz k × k ubicada en la esquina de la matriz asociada original. La demostraci´n de la implicaci´n (c)⇒(a) utiliza el m´todo de Jacobi (o sea el m´todo o o e e matricial) de diagonalizaci´n de una forma cuadr´tica. o a

p´gina 2 de 6 a

Criterios de que q < 0, q ≥ 0, q ≤ 0, q

0

En todas lasproposiciones que siguen se supone que V es un espacio vectorial real de dimensi´n finita n (n ≥ 1), E es una base de V . o 7. Proposici´n (criterio de que q < 0). Sea q ∈ Q(V ). Las siguientes condiciones son o equivalentes: (a) q < 0, esto es, q(x) < 0 para todo x ∈ V \ {0}. (b) en la matriz qE todos los menores de esquina de ´rdenes impares son negativos y o todos los menores de esquina de ´rdenes...