Criterios integral

Formulario Oficial Integrales Impropias
Primera Especie
Criterio de Comparaci´n o  f  f, g integrables ∀x ≥ a, 0 < ∞ (x) ≤ g (x)  ∞   a) g (x) dx Conv. ⇒ f(x) dx Conv. a∞ a ∞    b)  f (x) dx Div. ⇒ g (x) dx Div.
a a

Segunda Especie
 ım ım  f, g continuas ∀x ∈ [a, b[ l´ − f (x) = l´ − g (x) = ∞,   x→b x→b  0 < f (x) ≤ g (x)    b b a) g (x) dx Conv. ⇒ f (x) dx Conv.   a a   b b    b) g (x) dx Div. f (x) dx Div. ⇒ 
a a

Criterio de Comparaci´n en el l´ oımite   f, g integrables ∀x ≥ a. Si l´ f (x) = λ  ım   x→∞ g (x)   ∞ ∞ a) 0 ≤ λ < ∞, g (x) dx Conv. ⇒ f (x) dx Conv.  a a  ∞ ∞    b) λ > 0 o λ = ∞,  g (x)dx Div. ⇒ f (x) dx Div.
a a

 ım ım  f, g continuas ∀x ∈ [a, b[ , l´ − f (x) = l´ − g (x) = ∞.   x→b x→b     Si l´ f (x) = λ  ım   x→b− g (x)
b b a) 0 ≤ λ < ∞, g (x) dx Conv. ⇒ f (x) dx Conv.    a a   b b    b) λ > 0 o λ = ∞, f (x) dx Div. g (x) dx Div. ⇒ 
a a

Criterio de la potencia  l´ ım p  fintegrable y positiva ∀x ≥ a. Si x→∞ x f (x) = λ   ∞   a) 0 ≤ λ < ∞, alg´n p > 1 ⇒ u f (x) dx Conv. a  ∞    b) λ > 0 o λ = ∞,, alg´n p ≤ 1 ⇒  u f (x) dxDiv.
a ∞

 l´ ım  f, g integrable ∀x ∈ [a, b[ , x→b− f (x) = ∞.    Si l´ (b − x)q f (x) = λ.  ım   x→b− 
b

u f (x) dx Conv.  a) 0 ≤ λ < ∞, alg´n q < 1⇒   a  b    b) λ > 0 o λ = ∞, alg´n q ≥ 1 ⇒  u f (x) dx Div.
a

Funci´n Gamma: Γ (α) = 0 xα−1 e−x dx, ∀α > 0 o Γ (α + 1) = αΓ (α) π Γ (α) Γ (1 − α) = senαπ , 0 < α < 1.

Funci´n Beta: β (m, n) = 0 xm−1 (1 − x)n−1 , ∀m, n > 0 o π β (m, n) = 2 02 (sen θ)2m−1 (cos θ)2n−1 dθ β (m, n) = Γ(m)Γ(n) Γ(m+n)

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