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Análisis Matemático
Unidad 2 - Intervalos – Inecuaciones

Intervalo

En matemática llamamos intervalo a un subconjunto de la recta real.

Por ejemplo:

Esto se lee: · “El intervalo A está formado por las x pertenecientes a los números reales que son iguales o mayores a 5” En una recta numérica sería:

0

5

La notaci óndel intervalo es:

Cuando el extremo del intervalo está incluido en el mismo, se pone un corchete, y se dice que el intervalo es cerrado. Cuando el extremo no está incluido se coloca un paréntesis, al igual que cuando se va al infinito, y se dice que el intervalo es abierto.

Algunos otros ejemplos:

B = (1; 7) 1 7

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4

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Inecuaciones

Una inecuación es una operación cuyo resultado es un intervalo numérico. Las reglas a seguir para su resolución son, en principio, semejantes a las de las ecuaciones, pero se agregan otras reglas específicas para este tipo de operaciones.

Ejemplo 1

Primeroresolvemos las operaciones de cada término.

Operamos

Despejamos x

Expresando como intervalo

18

Ejemplo 2

Cuando la incógnita está multiplicada por un factor negativo, al pasarlo al otro miembro se debe invertir el sentido de la desigualdad. Esto se debe a que

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Entonces

-4

Ejemplo 3Cuando la incógnita figura en el denominador, debemos seguir los siguientes pasos. 1º) Igualamos a cero

2º) Sacamos común denominador

3º) Ahora debemos pensar: Tenemos un cociente cuyo resultado debe ser 0 o positivo. Por la regla de los signos en la división, el numerador y el denominador deben tener el mismo signo, es decir, que deben ser ambos positivos o ambos negativos El denominador nopuede ser cero. Entonces tenemos dos opciones

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Resolvemos la primera

Como deben cumplirse las dos condiciones, la solución de la opción a) es la intersección de los dos intervalos obtenidos

1/2

7/6

Ahora hacemos lo mismo con la opción b)

En este

caso la intersección es nula, ya que no hayningún número que cumpla

simultáneamente con las dos condiciones (ser menor que 1/2 y mayor que 7/6) El resultado final es la unión de los resultados de las dos opciones

Veamos otro ejemplo

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Igualamos a cero y sacamos común denominador.

En este caso el resultado de este cociente debe sernegativo. De acuerdo con la regla de los signos el numerador y el denominador deben tener signos opuestos.

Resolvemos ambos opciones

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El resultado final es la unión de estos intervalos

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Inecuaciones con módulo

Sitenemos

El resultado de esta inecuación es el conjunto de todos los números cuyo cuadrado es mayor que 16. Un número incluido en el conjunto solución es el 5, ya que: Pero también el -5 es un número incluido en el conjunto solución, ya que también es mayor que 16. Entonces, cuando la incógnita está elevada a un exponente por, al pasar la potencia al otro miembro, deben ponerse barras de módulo.,

Para solucionar esta inecuación con módulo, operamos del siguiente modo:

En una recta numérica

18) Representar en la recta numérica y escribir como intervalo o unión de intervalos:

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19) Representar en...