Cuadricas

Curvas c´nicas o
Es bien sabido que en general, la gr´fica de una funci´n y = g(x) es una l´ a o ınea curva. De forma m´s general, una curva, en Matem´ticas, se puede describir intuitivamente como un trozo de a a hilo (en general, pueden ser varios trozos de hilo) que descansa sobre un plano. Desde luego la gr´fica de una funci´n es un ejemplo de curva, pero no todas las curvas corresponden afunciones a o (al menos, a una s´la funci´n). Por ejemplo, si consideramos una circunferencia, dicha curva no o o puede corresponder a una funci´n porque para un mismo valor de x, en la circunferencia aparecen o dos puntos distintos (dos diferentes valores de y), y cuando uno tiene una funci´n, para un valor o de x no aparece m´s que un s´lo valor de y posible. la forma m´s general que tiene una curvaa o a en Matem´ticas, es a f (x, y) = 0 Por ejemplo, la gr´fica de una funci´n se puede escribir y − g(x) = 0, y responde por lo tanto a o a esta forma. Para un ejemplo algo m´s complicado, pensemos en la circunferencia de centro a (0, 0), de radio R = 2. A dicha curva pertenecen todos los puntos (x, y) cuya distancia a (0, 0) es 2. Como la expresi´n de la distancia entre (x, y) y (0, 0) es o √ √(x − 0)2 + (y − 0)2 = x2 + y 2 tenemos que los puntos de la circunferencia verifican √ x2 + y 2 = 2, es decir, elevando al cuadrado, y pasando todos los t´rminos al primer miembro, e x2 + y 2 − 4 = 0

x

Figura 1: Una circunferencia no puede estar definida por una funci´n y = g(x) o Las curvas c´nicas son las curvas que se obtienen al seccionar un cono (doble, ver la Figura o 2) por un plano(v´ase m´s abajo). Fueron descubiertas por un griego, Apolonio, en el siglo e a IV a.C., pero el inter´s hacia ellas surgi´ mucho m´s tarde, cuando Newton, a finales del siglo e o a XVII, prob´ que la trayectoria de un m´vil sujeto a una fuerza de tipo central inversamente o o proporcional al cuadrado de la distancia (como por ejemplo la atracci´n gravitatoria ejercida o 1

Circunferencia

ElipsePar´bola a

Hip´rbola e

Figura 2: Las c´nicas surgen al seccionar un doble cono por un plano o por un cuerpo) es necesariamente una c´nica. Este es el caso de todos los objetos que se mueven o en el Universo. 1. Circunferencia. La ecuaci´n de una circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio R, es: o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 Desarrollando los cuadrados, se obtiene una expresi´n del tipo:o x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Rec´ ıprocamente, una expresi´n de este tipo corresponde a una circunferencia siempre que o A2 B 2 + − C >0 4 4 En ese caso, las coordenadas del centro son (−A/2, −B/2), y el radio es igual a R =

A2 B 2 + − C. 4 4 Tambi´n pueden calcularse el centro y el radio completando cuadrados. Observaciones impore tantes: No aparecen t´rminos cruzados (es decir, con xy). eLos coeficientes de x2 e y 2 deben ser iguales a 1. Si se nos da una expresi´n similar a la o de arriba en la que estos coeficientes son, ambos, iguales a k ̸= 1, a´n puede tratarse de u 2

√

una circunferencia; para identificarla (o no) como tal, dividimos toda la ecuaci´n por k, o y aplicamos lo anterior. Si se nos da una expresi´n donde los coeficientes de x2 e y 2 son o distintos, no puedetratarse de una circunferencia. Ejemplos: (1) x2 + 2x + y 2 = 0. Sumando 1 a cada lado de la igualdad, se tiene x2 + 2x + 1 + y 2 = 1. En consecuencia, (x + 1)2 + y 2 = 1, que es una circunferencia de centro C(−1, 0) y radio R=1 (2) 2x2 + 2y 2 − 4x + 8y − 8 = 0. En primer lugar, como los coeficientes de x2 e y 2 son iguales, pero distintos de 1, dividimos toda la ecuaci´n por 2, obteniendo x2 + y 2 −2x + 4y − 4 = o 0. Despu´s, identificamos A = −2, B = 4, C = −4. Seg´n lo anterior, se trata de una e u circunferencia de centro (1, −2), y radio 3. (3) x2 + y 2 − 2x + 3y + 10 = 0. Tras identificar los valores de A, B, C, comprobamos que la A2 B 2 condici´n o + − C >0 no se da. Por lo tanto, no se trata de una circunferencia. 4 4 2. Elipse. Una elipse es el conjunto de puntos del plano que...