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INTEGRACION POR PARTES
1.



xe x dx

Sol: e x ( x  1)  k

Por el método de integración por partes:



 u  x  du  dx 
x
xe x dx  
e x dx  xe x  e x  k  ( x  1)e x  k
x
x   xe 
dv  e dx  v  e 



2. I 

(x

2

 3 x  5) e x dx

Sol: e x ( x 2  5 x  10)  k

Por el método de integración por partes:
I



u  x 2  3 x  5  du (2 x  3)dx 
( x 2  3 x  5) e x dx  

dv  e x dx  v  e x





 ( x 2  3x  5) e x  e x (2 x  3)dx 

La integral que nos ha quedado es del mismo tipo que la que pretendemos calcular,
por lo que nuevamente aplicaremos el método de integración de partes:
Hacemos

u  2 x  3  du  2dx 

x
x  y sustituimos:
 dv  e dx  v  e 


I  ( x 2  3 x  5) e x e x ( 2 x  3)dx  ( x 2  3 x  5) e x  (2 x  3 e x 







2e x dx  




 ( x 2  3 x  5) e x  (2 x  3) e x  2 e x dx  ( x 2  3 x  5) e x  ( 2 x  3) e x  2e x  k 





 ( x 2  3 x  5)  ( 2 x  3)  2 e x  k  e x ( x 2  5 x  10)  k
3.



x Ln( x ) dx

Sol:

1 2
1
x  Ln( x )    k
2 
2

Por el método de integraciónpor partes:



1 

u  Ln( x )  du  x dx  1 2
x Ln( x ) dx  
  x Ln( x ) 
1
2
 dv  xdx  v  x  2

2




1 2 1
x  dx 
2
x



4.

1 2
1
x Ln( x ) 
2
2



x dx 

1 2
1 1
1 
1
x Ln( x )   x 2  k  x 2  Ln( x )    k
2
2 2
2 
2

Sol: x Ln( x )  1  k

 Ln( x) dx
Por el método de integración por partes:



1 
u  Ln( x )  du  dx 
Ln( x ) dx  
x   x Ln( x ) 
 dv  dx  v  x


 x Ln( x ) 

5.



x

1
dx 
x

 dx  x Ln( x )  x  k  xLn( x)  1  k

 x sen x dx

Sol: sen x  x cos x  k

Por el método de integración por partes:



u  x  du  dx

x sen x dx  
   x cos x 
dv  sen x dx  v   cos x 

  cos x dx 



  x cos x cos x dx   x cos x  sen x  k

6.



x cos 2 x dx

Sol:

x2 1
1
 x sen 2 x  cos 2 x  k
4 4
8
Por el método de integración por partes, hacemos u  x  du  dx

y

dv  cos 2 xdx

Para calcular el valor de v recurrimos a las razones trigonométricas del ángulo mitad
y tendremos que cos 2 x 

v



cos 2 xdx 

En consecuencia:



1  cos 2 x
. Por tanto,2

1  cos 2 x
1
1
1
dx 
(1  cos 2 x )dx  ( x  sen 2 x )
2
2
2
2






1
1
x cos 2 x dx  x  ( x  sen 2 x ) 
2
2


1 2 1
1
1
1
1
1  x2 1
( x  xsen 2 x ) 
( x  sen 2 x )dx  ( x 2  xsen 2 x )   
 cos 2 x   k 
2
2
2
2
2
2
2  2 4






7.



1
1
( x  sen 2 x ) dx 
2
2



1 2 1
x2 1
x2 1
1
x  xsen 2 x  cos 2 x  k 
 x sen 2 x  cos 2 x  k
2
4
4 8
4 4
8

e  x cos xdx

I



Sol:

1 x
e (sen x  cos x)  k
2

u  e  x  du  e  x dx 
x
e  x cos xdx  
  e sen x 
dv

cos
xdx

v

sen
x



 e  x sen x 

e

x



 e  x sen xdx 

sen xdx

Al aplicar el método de partes nos ha quedado una integral del mismo tipo que la
quepretendemos calcular, por lo que volvemos a aplicar el mismo método. En ella
hacemos:
u  e  x  du   e x dx
dv  sen x dx  v   cos x
Sustituyendo en la expresión anterior nos queda:
I  e  x sen x 




e  x sen xdx  e  x sen x   cos x  e  x 





 cos x  ( e  x )dx  




 e  x sen x  cos x  e  x  cos x  e  x dx

es decir, volvemos a lamisma integral que pretendemos calcular. Entonces:

I  e  x sen x  cos x  e  x  I

En consecuencia:



2 I  e xsen x  cos x  e  x

 I

e  x (sen x  cos x )
2

I

8.



e  x cos xdx 

 Ln(1  x) dx


e  x (sen x  cos x )
k
2

Sol:  x  (1  x ) Ln(1  x )  k

1


u  Ln(1  x )  du 
dx 
Ln(1  x ) dx  
1  x   xLn(1...