curtosis

Curtosis
La curtosis, una medida ampliamente conocida pero malinterpretada….

La curtosis es uno de los conceptos peor comprendidos no solamente por estadísticos sino por los distintos profesionales que son usuarios de la estadística.
Fuente: DeCarlo (1997)
Entre las varias fallas que comenten los libros introductorios es de ilustrar el concepto de curtosis en distribuciones que tienedistintas varianzas, por ejemplo,  en la figura a continuación se observa que la distribución con línea discontinua tiene una apariencia plana (platicurtica) , la gráfica punteada luce como una distribución apuntada (leptocúrtica) , y en realidad, las tres gráficas fueron generadas por una distribución normal,  por tanto las tres distribuciones tienen una curtosis mesocúrtica (este es la medidaestándar de curtosis ya que corresponde a la curtosis de nuestra querida distribución normal). La medida de curtosis es adimensional (de hecho en el denominador del cálculo de la fórmula clásica aparece la varianza), los concepto de varianza y curtosis son absolutamente distintos y no se debe prestarse para confusiones. Una buena manera de comparar de manera gráfica la curtosis de varios conjuntos dedatos es estandarizar las variables con el propósito de no dar una mala interpretación a la información gráfica.

DeCarlo (1997) nos da una excelente explicación para comprender e interpretar mejor el concepto de curtosis.
Nos explica que la curtosis representa un movimiento de masa que no afecta la varianza.
Consideremos el caso por ejemplo de una distribución con una curtosis positiva, en estetipo de distribuciones colas pesadas son acompañadas de picos altos (apuntalamiento), notemos que si hubiera simplemente un desplazamiento importante de la distribución hacia las colas de la distribución esto conllevaría a un aumento de la varianza de la distribución, la manera como se compensa este aumento de la varianza es concentrando la distribución alrededor de la media. Por otro lado unadistribución platicúrtica tiene una menor concentración de valores alrededor de la media y no suele tener colas pesadas, se compensa esa “baja varianza” con una mayor variabilidad en el resto de la distribución.
Entre las muchas utilidades que tiene la curtosis es la de detección de la normalidad en un conjunto de datos en combinación con las medidas de asimetría por ejemplo la prueba de detección denormalidad de D’agostino. Es igualmente una excelente manera para detectar la existencia de datos atípicos. Debe verificarse en las pruebas de igualdad de varianzas y en todas pruebas que requieran la normalidad que se verifique al menos de manera aproximada esta propiedad. Tambien debo anotar que la curtosis tiene una interpretación extremedamente complicada cuando las distribuciones no sonunimodales,  en este caso convendría mejor estudiar por regiones la distribución.
El coeficiente de  curtosis mide cuan 'puntiaguda' es una distribución respecto de un estándar. Este estándar es una forma acampanada denominada 'normal', y corresponde a una curva de gran importancia en estadística.
El coeficiente de curtosis está definido por:


De acuerdo a su valor, la 'puntudez' de los datospuede clasificarse en tres grupos:  
más apuntada y con colas más anchas que la normal –leptocúrtica.
menos apuntada y con colas menos anchas que la normal- platicúrtica.
la distribución normal es mesocúrtica.
En la distribución normal se verifica que , donde  es el momento de orden 4 respecto a la media y  la desviación típica.

Así tendremos que:
Si la distribución es leptocúrtica  y 
Sila distribución es platicúrtica  y 
Si la distribución es mesocúrtica  y 
Otra forma de medir la curtosis se obtiene examinando la fórmula de la curtosis de la suma de variables aleatorias. Si Y es la suma de n variables aleatorias estadísticamente independientes, todas con igual
distribución X, entonces , complicándose la

fórmula si la curtosis se hubiese definido como .

Las...