Cálculo diferencial: límites

CÁLCULO DIFERENCIAL

LÍMITES

LÍMITES.

Sea (a) un número real contenido en un intervalo abierto y (() una función definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en (a) mismo. A veces es de interés conocer los valores de (() la función para (x) muy cercanos a (a), pero no necesariamente iguales a (a). De hecho, en muchos casos, el número de (a) no se encuentra en el dominio de ((), esdecir ((a) no está definido. Cuando (x) se acerca cada vez más a (a) (x ( a) y ((x) se acerca también a un número (L), se dice que ((x) tiende a (L) cuando (x) tiende a (a), o que el límite de ((x) cuando (x) tiende a (a) es (L). Lo cual se escribe:

lím ((x) = L ó ((x) ( L ; cuando x ( a
x ( a

En general, supongamos que una función (() está definida para toda (x) próxima a (a) pero nonecesariamente para x = a. Entonces decimos que ((x) tiene el límite (L) cuando (x) tiende a (a) (pero no es igual a (a)).

Es posible que ((x) no tienda a ningún número concreto cuando (x) tiende a (a). En este caso decimos que:

lím ((x) no existe, ó que ((x) no tiene límite cuando (x) tiende a (a).
x ( a

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

En el cálculo y sus aplicaciones se analizala forma en que varían ciertas cantidades y éstas tienden a valores específicos bajo ciertas condiciones. Estas cantidades a menudo involucran los valores de alguna función. Para hacer este análisis se utiliza el concepto de derivada. Este concepto de derivada depende de la notación de límite de un a función.

Consideremos un punto (P) de la curva del plano (x,y) y tomemos otro punto (Q) de lacurva. La recta que pasa por (P) y (Q) se llama secante (del latín “que corta”). Si se deja fijo el punto (P) y se mueve (Q) sobre la curva ((), acercándose a (P) la secante gira alrededor de (P). La recta (PT) hacia la que tiende la secante se llama recta tangente a la curva en (P). Veamos pues, como se puede hallar la pendiente de la tangente en (P).

y
T

Q = (a + h,((a + h))

h
((a+ h) - ((a)
P = (a, ((a))

a a + h x

Pendiente de la tangente

El punto (P) tiene coordenadas (a,((a)). El punto (Q) está cercano a (P) y también sobre la curva ((). Supongamos que las coordenadas (x) de (Q) son (a + h) donde (h) es un número pequeño diferente de cero. Entonces, la coordenada (x) de (Q) es un número cercano a (a). Puesto que (Q) está sobre la curva ((), la coordenada(y) de (Q) es ((a + h). Por lo tanto, las coordenadas de los puntos son: P = (a, ((a)) y Q = ((a + h), ((a + h)).

La pendiente mPQ es:

mPQ = ((a + h) - ((a)
h

Nótese que cuando h = 0, la ecuación:

mPQ = ((a + h) - ((a)
h

se convierte en 0/0 y así no esta definida. El tomar h = 0 corresponde a hacer Q = P. Cuando (Q) se mueve hacia (P) (Q tiende a P) a lo largo de la cueva ((), lacoordenada (x) de (Q) que es (a + h), debe tender a (a) y (h) debe tender a cero. A la vez la secante (PQ) tiende a la tangente a la curva en (P). Esto sugiere que se deba definir la pendiente de la tangente en el punto (P) como el número al que tiende (mPQ) cuando (h) tiende a cero. A este número se le llama la pendiente de (´(a).

(´(a) = el límite cuando h ((a + h) - ((a)
tiende a cero deh

Para expresar el límite cuando (h) tiende a cero de una expresión que dependa de (h), usualmente en matemáticas se emplea la notación: lím h( 0. Por lo tanto:

(´(a) = lím ((a + h) - ((a) Si existe este límite,
h( 0 h decimos que (() es
derivable en (a).

Se llama derivada de una función, a la pendiente de la tangente a la curva en un punto determinado y es la pendiente de larecta que más se ajusta a la curva en ese punto. La derivada de (() se designa por (´(a); que se lee “efe” prima de (a).

(´(a) = la pendiente de la tangente a la curva y =((x) en el punto (a, ((a)).

La derivada es el concepto matemático que se usa para describir la tasa media de variación.

Supongamos que una cantidad (y) está relacionada con una cantidad (x) por y = ((x). Si se da a (x) un...