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Algebra.
(I. Mec´anica)-Modelo A-Febrero-2014
Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura o´ptica. Cada respuesta correcta suma
1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.
Problema: Se corregirir´a s´olo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos.

Ejercicio 1 El t´ermino a15 a2i a3j a42 a53 estar´amultiplicado por (−1) en el desarrollo
de un determinante de orden 5 si el par (i, j) verifica: A) i = j con 1 ≤ i ≤ 5 y
1 ≤ j ≤ 5; B) Es (1, 4); C) Es (4, 1); D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 2 Considerando la suma habitual entre pares de R2 y la operaci´on de escalares con pares de R2 definida por λ • (x1 , x2 ) = (λx2 , x1 ), entonces se verifica la siguiente
propiedad: A) Distributiva delos escalares respecto a la operaci´on entre vectores; B)
Distributiva de los vectores respecto a la suma de escalares; C) Asociativa respecto al
producto de escalares; D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 3 Si U y V son subespacios vectoriales de (Rn , +, R) NO se verifica: A)
La suma de dos elementos de U ∩ V puede no pertenecer a U ∩ V ; B) El producto de
un n´
umero real por unelemento de U ∩ V est´a en U ∩ V ; C) U ∩ V contiene, al menos,
un elemento; D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 4 Si ((m − 2)x1 + 2x2 − x3 , 2x1 + mx2 + 2x3 , 2mx1 + 2(m + 1)x2 + (m + 1)x3 )
con m ∈ R es la imagen de (x1 , x2 , x3 ) en el endomorfismo f de R3 , es cierto que el n´
ucleo
de f verifica: A) Tiene dimensi´on 2 si m = 2; B) Es {(0, 0, 0)} si m = 0; C) Tiene
dimensi´on 0 para m =1; D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 5 La matriz de Gram del producto escalar usual de R3 respecto de la base
{(1, 1, 2), (3, 1, 1), (−2, −1, 2)} verifica: A) Tiene rango 2; B) Tiene como fila segunda (6, 11, 5);
C) Tiene como traza (suma de los elementos de la diagonal) 26;
D)
Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 6 Es cierto que: A) MAXIMA posee un comando que compruebe si unaaplicaci´on es bilineal; B) Si el rango de la matriz asociada a una cu´adrica no es m´aximo,
la cu´adrica es degenerada; C) Las c´onicas son casos particulares de las cu´adricas; D)
Ninguna de las anteriores.
Problema
a) Si f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , 2x2 + x3 , 3x3 ) es un endomorfismo de R3 , se pide:
Valores propios asociados (0.5pto) y una base de cada subespacio propio (1.5pto).
b) Sepide: definir forma cuadr´atica definida negativa en R3 (0.5ptos) y poner un
ejemplo de forma cuadr´atica definida negativa (0.5ptos) y caracterizar las formas
cuadr´aticas definida negativas mediante dos criterios distintos (1pto).

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SOLUCIONES. Algebra.
Grado en I. Mec´
anica. TIPO A. Febrero 2014.
Ejercicio 1 El t´ermino a15 a2i a3j a42 a53 estar´a multiplicado por (−1) en eldesarrollo
de un determinante de orden 5 si el par (i, j) verifica: A) i = j con 1 ≤ i ≤ 5 y
1 ≤ j ≤ 5; B) Es (1, 4); C) Es (4, 1); D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´
on Ejercicio 1
La soluci´
on correcta es C.
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V´ease Ejercicio 1.22 de “Ejercicios de Algebra
para ingenieros”.
Ejercicio 2 Considerando la suma habitual entre pares de R2 y la operaci´on de escalares con pares de R2 definidapor λ • (x1 , x2 ) = (λx2 , x1 ), entonces se verifica la siguiente
propiedad: A) Distributiva de los escalares respecto a la operaci´on entre vectores; B)
Distributiva de los vectores respecto a la suma de escalares; C) Asociativa respecto al
producto de escalares; D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´
on Ejercicio 2
A) es cierta. λ • (x + y) = (λ • x) + (λ • y):
Primer miembro:
λ • (x + y)= λ • (x1 + y1 , x2 + y2 ) = (λ(x2 + y2 ), x1 + y1 ) = (λx2 + λy2 , x1 + y1 ).
Segundo miembro:
λ • (x1 , x2 ) + λ • (y1 , y2 ) = (λx2 , x1 ) + (λy2 , y1 ) = (λx2 + λy2 , x1 + y1 ).
B) es falsa. (λ + µ) • x = (λ • x) + (µ • x):
Primer miembro:
(λ + µ) • (x1 , x2 ) = ((λ + µ)x2 , x1 )
Segundo miembro:
λ • (x1 , x2 ) + µ • (x1 , x2 ) = (λx2 , x1 ) + (µx2 , x1 ) = (λx2 + µx2 , 2x1 ).
C) es...