De fierro y figuerioa

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Cap´ ıtulo I: Espacios

Vectoriales

y

Subespacios
En lo que sigue y en cada una de las definiciones, proposiciones y ejemplos donde se mencione o aparezca el concepto de campo, se entender´ que ´ste se refiere al a e campo de los n´meros reales o complejos. Si no se requiere especificaci´n, este campo u o se denotar´ por IK. a

1.

Espacios vectoriales

Definici´n 1 Sea V unconjunto no vac´ Se dice que V es un espacio vectorial sobre o ıo. IK, si y s´lo si, V posee la estructura algebraica siguiente: o V es un grupo aditivo. Es decir, existe una funci´n V × V → V denotada por o (u, v) → u + v que satisface las condiciones siguientes: (1.1) (1.2) (1.3) v. (1.4) Todo v ∈ V posee un inverso −v ∈ V que satisface v+(−v) = −v+v = 0. Para todos u, v, w ∈ V, u + (v + w) = (u + v)+ w (ley asociativa). Para todos u, v ∈ V, u + v = v + u (ley conmutativa). Existe 0 ∈ V (elemento neutro) tal que para todo v ∈ V , v + 0 = 0 + v =

Adem´s, existe una funci´n IK ×V → V denotada por (α, v) → αv tal que a o (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) Para todo α ∈ IK y todos u, v ∈ V ,α(u + v) = αu + αv. Para todos α, β ∈ IK y todo v ∈ V ,(α + β)v = αv + βv. Para todos α, β ∈ IK y todo v ∈ V,α(βv) = (αβ)v. Para todo v ∈ V , 1 · v = v.

En este contexto, los elementos de V y de IK, se denominan vectores y escalares, respectivamente.

2 Observaci´n 2 Sea V un espacio vectorial sobre IK. Entonces, o (2.1) (2.2) V posee un unico elemento neutro, y ´ todo v ∈ V posee un unico elemento inverso. ´

Figueroa y Fierro

En efecto, si 0 y 0 son elementos neutros de V entonces 0 = 0 + 0, pues0 ∈ V y 0 es elemento neutro de V . Pero tambi´n, 0 ∈ V y 0 es elemento neutro de V , lo e cual implica que 0 = 0 + 0. Por lo tanto, 0 = 0. Queda como ejercicio para el lector la demostraci´n (2.2) o Ejemplos 3 (3.1) Sobre IKn podemos definir una operaci´n + y una multiplicaci´n por o o

escalar de modo que IKn sea un espacio vectorial sobre IK. Sean x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn) elementos de IKn y α ∈ IK. Definimos la suma y el producto por escalar como sigue: x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) y αx = (αx1 , . . . , αxn ).

Con estas operaciones, se verifica que IKn es un espacio vectorial sobre IK. En este caso, el elemento neutro es (0, . . . , 0) y si x = (x1 , . . . , xn ) pertenece a IKn , entonces el inverso de x es −x = (−x1 , . . . , −xn ). (3.2) Definiendooperaciones an´logas a las dadas en (3.1), se tiene que Cn es a

un espacio vectorial sobre R. Sin embargo, Rn no es espacio vectorial sobre C. (3.3) Sea IK[x] el conjunto de todos los polinomios en la variable x con coe-

ficientes en IK. Es f´cil ver que con la suma usual de polinomios y la multiplicaci´n a o por constantes, IK[x] es un espacio vectorial sobre IK. El polinomio nulo es elelemento neutro en IK[x] y si p(x) ∈ IK[x] es tal que p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , entonces el inverso de p(x) est´ dado por el polinomio a −p(x) = (−a0 ) + (−a1 )x + · · · + (−an )xn . (3.4) Sean E un conjunto no vac´ y F(E, IK) el conjunto de todas las funıo

ciones definidas sobre E con valores en IK.

3 Dados f, g ∈ F(E, IK) y α ∈ IK, definimos f + g y αf como (f + g)(x) = f (x) + g(x) y (αf)(x) = αf (x).

Con estas operaciones, F(E, IK) es un espacio vectorial sobre IK. El elemento neutro en F(E, IK) es la funci´n nula y cada f ∈ F(E, IK) posee como o inverso la funci´n −f ∈ F(E, IK) definida por (−f )(x) = −f (x). o → − Proposici´n 4 Sea V un espacio vectorial sobre IK, y denotemos por 0 y 0, los o elementos neutros de V y IK, respectivamente. Entonces, se satisface laspropiedades siguientes: (4.1) (4.2) (4.3) → − − → Para todo α ∈ IK, α 0 = 0 . → − Para todo v ∈ V , 0v = 0 . Para todo α ∈ IK y todo v ∈ V , (−α)v = −αv.

→ − → − − → → − → − Demostraci´n. Sea α ∈ IK. Luego, α 0 = α( 0 + 0 ) = α 0 + α 0 . Por lo tanto, o → − → − → − (cancelando α 0 ) se tiene que α 0 = 0 . Esto demuestra (4.1) y an´logamente se a demuestra (4.2). Demostremos (4.3). Sean α ∈ IK y v ∈...