Deflexion De La Vertical

Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes

Tema 3

CAMPO NORMAL DE LA GRAVEDAD

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3.1 Aceleración de la gravedad. Fórmula de Clairaut de 1er orden. En el tema 2 hemos resuelto el valor del potencial de la Tierra (U), estableciendo para ello diferentes hipótesis y aproximaciones. En este capítulo resolveremos una aproximación a los valores de la aceleración de la gravedad (γ)generados por los potenciales teóricos de la Tierra U. Como ya sabemos la gravedad en el punto P viene dado por el gradiente del potencial en dicho punto
g = ∇W (3.1)

siendo g el vector de la gravedad observado en el punto P y W el potencial real de la Tierra. Si sustituimos W por U que es el potencial de la gravedad teórico, del cual hemos resuelto diferentes aproximaciones en el tema anterior,obtendremos un valor aproximado para la aceleración de la gravedad, en este caso la aceleración de la gravedad la designaremos por γ

γ = ∇U

(3 . 2 )

De las diferentes componentes que podemos resolver de la aceleración γ (γr,γθ,γλ), vamos a establecer que γθ,= 0 y γλ=0, debido a que el valor de estas componentes es muy pequeño en comparación con γr, con lo que finalmente tenemos que,

γ = ∇U=

∂U ∂r

(3.3)

en el caso que utilicemos como aproximación del potencial U la fórmula (2.82) obtendríamos γ con una aproximación de 1er orden  a  2 3  a  4  r 2 2   − J 2   3sen ϕ − 1 − m  cos ϕ  2 r a  r    

γ = ∇U =

∂U GM =− 2 ∂r a

(

)

(3.4)

Ahora pasemos a resolver el valor de la gravedad sobre un elipsoide que es la forma regular que más seaproxima a la Tierra. Esta operación nos permite establecer el valor

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Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes de r en función de a, ya que sobre el elipsoide se resuelve que r = a (1- α sen2 ϕ )1 quedando (3.4)
γ =−
GM  2 −2 3 2 2 −4 2 2 − 2 m 1 − sen ϕ 1 − α sen ϕ (1 − α sen ϕ ) − 2 J 2 3 sen ϕ − 1 1 − α sen ϕ 2  a

(

)(

)

(

)(

)  

(3.5)

En el ecuadorla aceleración tendrá un valor de:

γe =−
Operando en (3.6)

GM a2

 3  1 + 2 J 2 − m  

(3.6)

γe GM =− 2 3 a 1 + J2 − m 2
Sustituyendo este valor en (3.5) y tomando términos de primer orden según Udias (1997) resulta

(3.7)

γ = γ e 1 +  2α + m − J 2  sen 2 ϕ 
 



 

9 2

 



(3.8)

γp

La expresión resuelta da el valor de la gravedad normalen aproximación de primer orden, en un punto de la superficie del elipsoide, en función de
γe

su valor en el ecuador. Teniendo en cuenta que el valor máximo de la gravedad se da en el polo (γp) y el mínimo le corresponde al ecuador γe,, podemos establecer

Fig.3.1.

según Udias (1997) que el valor γ se puede resolver estableciendo que los valores de la aceleración de la gravedad se ciñen ala curva de una elipse

γ = γ e [1 + β sen 2 ϕ ]
Siendo β

(3.9)

1

* En la bibliografía podemos encontrar el aplanamiento designado tanto por α como por f

77

β=

γ p −γe γe

(3.10)

Por analogía de (3.8) con (3.9) podemos establecer que

β = 2α + m − J 2

9 2

(3.11)

La cual se conoce como la fórmula de Clairaut. Si sustituimos J2 de (2.89) en la fórmula deClairaut (3.11) obtenemos

α= m−β

5 2

(3.12)

estableciendo esta ecuación que la forma de la Tierra que vendría resuelta por el aplanamiento del elipsoide α, se puede obtener a través de m y β siendo estos parámetros, parámetros físicos o constantes dinámicas los cuales dependen de cómo esta distribuida la masa de la Tierra. Otra deducción que podríamos obtener es que se puede obtener la formade la Tierra midiendo la gravedad sobre ella (como mínimo hacen falta dos puntos).

3.2. Elipsoide de nivel. Campo normal de la gravedad.

Para la determinación del campo exterior de la gravedad se requiere el establecer un sistema de referencia gravimétrico (al igual que en geodesia se utiliza el elipsoide como figura de referencia para reducir las medidas, en geofísica se establece una...