Deformacion Y Movimiento19Set14b

Mec´anica de S´olidos
Cap´ıtulo II: Deformaci´
on y movimiento

V´ıctor Fachinotti, Sebasti´an Toro
Programa de Doctorado en Ingenier´ıa
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias H´ıdricas (FICH)
Universidad Nacional del Litoral (UNL)

19 de septiembre de 2014

V´ıctor Fachinotti, Sebasti´
an Toro ( Programa de Doctorado
Mec´
enanica
Ingenier´
de S´
ıaolidos
Facultad de Ingenier´ıa 19
y Ciencias
deseptiembre
H´ıdricas
de(FICH)
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Cinem´
atica

Observador y evento

Observador y evento

Observador: medio de medir cantidades f´ısicas, particularmente,
posiciones relativas de puntos y progreso del tiempo.
Evento: para un observador O, es un fen´
omeno f´ısico que ocurre en
x ∈ E al instante t ∈ R: (x, t) ∈ E × R
Formalmente, observador es un mapeo 1-a-1 que asigna a unevento
un par (x, t) ∈ E × R.
Dos eventos distintos (x, t) y (x0 , t0 ), como los ve O, est´an separados
por una distancia |x − x0 | en E y un intervalo t − t0 en R.

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Transformaci´
on deobservador

Transformaci´on de observador
Sean dos observadores O y O ∗ , de modo que el evento (x, t)
registrado por O sea el mismo que el evento (x∗ , t ∗ ) registrado por
O ∗.
O y O ∗ deben ponerse de acuerdo en las unidades de medida de
distancia y tiempo.
Transformaci´
on de observador: mapeo E × R → E × R t.q.
(x, t), (x0 , t0 ) −→ (x∗ , t ∗ ), (x∗0 , t0∗ )
para (x, t) arbitrario, (x0 , t0 ) fijo yarbitrario.
Para preservar |x − x0 | y t − t0 , el mapeo debe ser
x∗ − x∗0 = Q(t)(x − x0 ),

t∗ = t − a

con a ∈ R constante, y Q(t) tensor ortogonal.
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Cinem´
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Transformaci´
on de observadorIntroduciendo c(t) = x∗0 − Q(t)x0 , la transformaci´on de observador
puede expresarse alternativamente como
x∗ = c(t) + Q(t)x,

t∗ = t − a

(1)

Nota: trabajaremos con transformaciones de observador que
preservan orientaci´
on, de modo que Q(t) es ortogonal propio, i.e.
Q(t) ∈ SO3 (SO3: grupo de rotaciones en el espacio Eucl´ıdeo 3D).

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Marco de referencia

Marco de referencia

Supongamos que O elige {o, ei }, fija respecto de O, y O ∗ elige
{o ∗ , e∗i }, fija respecto de O ∗ . Luego:
x = xi ei ,

x∗ = xi∗ e∗i

El sistema de coordenadas adoptado por un observador constituye el
marco dereferencia de ese observador.

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Marco de referencia

Marco de referencia
Si {o, ei } es el marco de referencia de O y {o ∗ , e∗i } el de O ∗ :
x = xi ei ,

x∗ = xi∗ e∗i

Por conveniencia, adoptamose∗i = Q(t)ei .
Luego, la transformaci´
on de observador resulta:
x∗ = c(t) + Q(t)x,

t∗ = t − a

xi∗ e∗i = c(t) + Q(t)xi ei
(·e∗j )

xi∗ e∗i · e∗j = c(t) · e∗j + xi [Q(t)ei ] · e∗j
xj∗ = cj∗ (t) + xj

⇒ Salvo la traslaci´on de origen, los observadores asignaron las mismas
coordenadas a un mismo evento.
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Configuraci´
on de un cuerpo

Configuraci´on de un cuerpo
Cuerpo B: conjunto de part´ıculas o puntos materiales en
correspondencia 1-a-1 con B ∈ E. Si B se mueve, la regi´on B que
ocupa en E cambia continuamente.
Configuraci´
on de B: mapeo 1-a-1 χ : B → E (part´ıculas X a lugar...