Delta de Dirac y sistemas LTI

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac, en tanto que distribución define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

Siendo para el caso
En física la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de unamasa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Además la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas, concretamente, se tiene la siguiente relación con lafunción escalón.

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0, tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.

La Delta de Dirac es una "función generalizada" que viene definida por la siguiente fórmula integral:

La Delta de Dirac no es una función estrictamente hablando puesto que se puede ver querequeriría tomar valores infinitos, a veces informalmente se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones, que tienda a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito de ahí la "definición convencional" dada por la convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

Comúnmente en física la Delta de Dirac se usa comouna distribución de probabilidad idealizada, técnicamente de hecho es una distribución (en el sentido de Schwartz).
En términos del análisis dimensional, esta definición de δ(x) implica que δ(x) posee dimensiones recíprocas a dx.
Definición como distribución de densidad

Definición como límite de sucesiones de funciones
La delta de Dirac se define como "límite distribucional" de una sucesión defunciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones fn(x) converge distribucionalmente cuando:

Donde φ es una función perteneciente a un espacio vectorial de funciones, y d es un funcional continuo del espacio vectorial dual (el conjunto de esos elementos continuos es un subespacio vectorial del dual,conocido como espacio dual topológico del espacio original de funciones. La Delta de Dirac centrada se puede definir como el límite distribucional del funcional dado por d(φ) = φ(0), es decir, el límite en el sentido de las distribuciones de una sucesión de funciones tales que:

Algunos ejemplos posibles de sucesión de funciones que cumpla lo anterior son:

Propiedades
Estas propiedades se puedendemostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función Delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.

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En coordenadas esféricas se tiene:

Lineal invariante en el tiempo la teoría de sistemas, Comúnmente conocido como LTIteoría de sistemas, proviene de matemáticas aplicadas y tiene aplicaciones directas en Espectroscopía de RMN, sismología, circuitos, procesamiento de señales, la teoría de control, Y otras áreas técnicas. Se investiga la respuesta de un lineales y invariante en el tiempo del sistema a una señal de entrada arbitraria. Las trayectorias de estos sistemas se suelen medir y seguimiento de como semueven a través del tiempo (por ejemplo, una forma de onda acústica), pero en aplicaciones como procesamiento de imágenes y campo de la teoría, Los sistemas LTI también tienen trayectorias en las dimensiones espaciales. Así, estos sistemas también se les llama lineal invariante por traslación para dar a la teoría de alcance más general. En el caso de los genéricos tiempo discreto (Es decir,...