Demostraciones De Numeros

M´todos de demostraciones, sucesiones
e
Prof. Ra´l ernesto Gutierrez de Pi˜erez Reyes
u
n
16 de mayo de 2007
1. Demuestre que el producto de dos impares es impar.
2. Demuestre que si n es un entero y n3 + 5 es impar, entonces n es par, usando:
a ) Demostraci´n indirecta. (nota: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 )
o
b ) Demostraci´n por reducci´n al absurdo. Se soponen que n3 + 5 esimpar y que
o
o
n es impar, para llegar a una contradicci´n.
o
Sea n impar, como el producto de dos impares es impar, entonces n2 = n.n es
impar y as´ n3 es impar.
ı
Ahora 5 = (n3 + 5) − n3 c
I M P AR

P AR

por tanto si n es un entero y n3 + 5 es impar, entonces n es par.
3. Demostrar que si n ∈ Z es impar, entonces EXISTE un UNICO entero k tal que n
es la suma de k − 2 y k + 3.
a )EXISTENCIA de k : A partir de n obtenemos la existencia de k .
n = (k − 2) + (k + 3)
n = 2k + 1
para k ∈ Z
b ) UNICIDAD de k Suponemos que existe un r = k donde r ∈ Z
n
n
(k − 2) + (k + 3)
k

=
=
=
=

(k − 2) + (k + 3)
(r − 2) + (r + 3)
(r − 2) + (r + 3)
r

Lo que contradice que r = k . Por lo tanto existe un UNICO k ∈ Z tal que n
es la suma de k − 2 y k + 3.

1

4.Demostrar que | x | + | y |≥| x + y | para todo x, y ∈ R
a ) Caso 1: x ≥ 0 y y ≥ 0
|x|+|y | = x+y
= | x + y | por que x + y ≥ 0
b ) Caso 2: x < 0 y y < 0
| x | + | y | = −x + (−y )
= −(x + y )
= | x + y | por que x + y < 0
c ) Caso 3: x ≥ 0 y y < 0
entonces
| x | + | y |= x + (−y )
1) Si x ≥ −y
Entonces
|x+y | = x+y

Pero como y < 0 entonces −y > y
| x | + | y | = x + (−y ) > x + y =| x+ y |

2) Si x < −y
entonces
| x + y | = −(x + y )

Pero como x ≥ 0 entonces −x ≤ x
| x | + | y | = x + (−y ) ≥ −x + (−y ) = −(x + y ) =| x + y |

d ) Caso 4: x < 0 y y ≥ 0 entonces
| x | + | y |= −x + y

2

1.

Sucesiones

1. 1,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0,0,1,....
Rta: un 1 y un 0, seguidos de dos 1 y dos 0, seguidos de tres 1 y tres ceros, aqu´ no
ı
hay una f´rmula explicita, nirecursiva.
o
2. 1,2,2,3,4,4,5,6,6,7,8,8,.....
Los enteros impares se acompa˜an de dos pares, no hay ni expl´
n
ıcita, ni recursiva.
3. 1,0,2,0,4,0,8,0,16,........
hay un cero en cada posici´n par.
o
4. 3,6,12,24,48,96,192,.......
an = 3 · 2n−1

para n ≥1

5. 15,8,1,-6,-13,-20,-27,.....
an = 15 − 7(n − 1) = 22 − 7n para n ≥1
6. 3,5,8,12,17,23,30,38,47,.....
an = (n2 + n + 4)/2 para n≥1
7. 2,16,54,128,250,432,......
an = 2n3

para n ≥1

8. 2,3,7,25,721,5041,....
an = n! + 1 para n ≥1
9. 2,4,16,256,65536,.....
se podr´ factorizar la sucesi´n: 2 · 20 , 2 · 21 , 2 · 23 , 2 · 27 , 2 · 215 , . . .
ıa
o
an = 2 · 22

n −1

= 22

n

para n ≥0

10. 3,6,11,18,27,38,51,.....
a0 = 3
an = an−1 + (2n + 1) para n ≥1
11. Demuestre que el cuadrado de un entero finalizaen 0,1,4,5,6 o 9.
Lo primero, expresamos un entero n de la forma n = k · 10 + l donde k, l ∈ Z,
adem´s l = 0, 1, 2, . . . 9
a

3

Aplicamos pasos inductivos a trav´s de l.
e
Ahora por ejemplo elevamos n al cuadrado, cuando l = 0:
n2 = (10k + 0) = 100k 2 + 0
Para cualquier valor de k , k · 10 termina en 0
Cuando l = 1:
n2 = (10k + 1)2 = 100k 2 + 20k + 1
Cuando l = 2:
n2 = (10k +2)2 = 100k 2 + 40k + 4
Cuando l = 3:
n2 = (10k + 3)2 = 100k 2 + 60k + 9
Cuando l = 4:
n2 = (10k + 4)2 = 100k 2 + 80k + 16
Cuando l = 5:
n2 = (10k + 5)2 = 100k 2 + 100k + 25
Cuando l = 6:
n2 = (10k + 6)2 = 100k 2 + 120k + 36
Cuando l = 7:
n2 = (10k + 7)2 = 100k 2 + 140k + 49
Cuando l = 8:
n2 = (10k + 8)2 = 100k 2 + 160k + 64
Cuando l = 9:
n2 = (10k + 9)2 = 100k 2 + 180k + 81
12.Demuestre que la potencia cuarta de un entero acaba en 0,1,5 o 6.
Sol: Se realiza lo mismo que el anterior ejercicio se calcula n4 para n = k · 10 + l
donde l = 0, 1, . . . 9
13. Obtener una f´rmula para:
o
111
1
2n − 1
+ + + ··· + n =
, para n ≥ 1
248
2
2n
Hay que demostrarla por inducci´n.
o
4

14. Obtener una f´rmula para:
o
1
1
1
1
n
+
+
+ ··· +
=
, para n ≥ 1
1·2 2·3...