dependencia e independencia lineal

DEFINICIÓN: DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Un conjunto de funciones f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x) es linealmente dependiente en un
intervalo I si existen constantes c1 , c2 ,..., cn no todascero, tales que:

c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x)  ...  cn f n ( x) 0
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente
dependiente en el intervalo, se dice que es linealmenteindependiente
En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un
intervalo I si las únicas constantes para las que:

c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x)  ...  cn f n ( x) 0
Para toda xen el intervalo son: c1 c2 ... cn 0
De otro modo, un conjunto de dos funciones f1(x) y f2(x) es linealmente independiente
cuando ninguna función es un múltiplo constante de la otra en elintervalo

Soluciones de ED: Se tiene interés en este subtema sobre todo en funciones
linealmente independientes o, con más precisión, soluciones linealmente
independientes de una ED lineal. Aún cuandopodríamos utilizar en forma
directa la definición anterior para encontrar la solución, resulta más fácil
comprobar si el conjunto de n soluciones y1, y2, yn de una ecuación diferencial
homogénea de n-ésimoorden es linealmente independiente, mediante el
establecimiento en forma mecánica de un determinante llamado Wronskiano
DEFINICIÓN: DE WRONSKIANO
Suponga que cada una de las funciones
n -1 derivadas.El determinante:

W ( f1 , f 2 ,..., f n ) 
fn

f1 ( x). f 2 ( x),..., f n ( x) posee al menos

f1
f1

f2
f 2

.
.

fn
f n

.

.

.
.

.

( n  1)

fn

( n  1)

fn

( n  1)

donde las primasdenotan derivadas, se llama el Wronskiano de las funciones

TEOREMA:CRITERIO PARA SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
sean n soluciones,y1,y2, . . .,yn, de la ecuación diferencial, lineal, homogénea
yde orden n, en un intervalo I. Entonces, el conjunto de soluciones es
linealmente independiente en I si y solo si:

para toda x en el intervalo
CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES
Todo conjunto y1,...