Derivación numerica básica

´
´
DERIVACION NUMERICA

1oGIMEC
Alfonso Cort´s Garrido
e
Jorge Roncero Bl´zquez
a

1

1

´
INTRODUCCION

En este tema nos ocupamos de aproximar las derivadas de ordena arbitrario
ν en un punto cualquiera α de una funci´n f de la cual solo conocemos sus
o
valores en los (n + 1) nodos distintos (x0 , x1 , ...., xn ) Para ello, buscaremos
formulas de derivaci´n:
o
n
f (ν (α ) ≃

Ai f (xi )
i=0

Nos restringiremos al estudio de las f´rmulas de tipo interpolatorio polin´mico,
o
o
esto es, se aproxima f por el polinomio de interpolaci´n de Lagrange, se deriva
o
y se eval´a en el punto:
u
n

f ( x) ≃

f (xi )li (x) =⇒
i=0
n

(ν

f (ν ( x ) ≃

f (xi )li (x) =⇒
i=0
n

(ν

(ν

f (α ) ≃

f ( xi ) l i ( α ) .
i=0

Por tanto, loscoeficientes de la f´rmula son:
o
(ν

Ai = li (α), i = 0, ...., n.

1.1

Teorema 1:

Una f´rmula de derivaci´n:
o
o
n

f (ν ( α ) ≃

Ai f (xi )
i=0

es de tipo interpolatorio polin´mico si y s´lo si es exacta en Pn (R). Entonces,
o
o
para el c´lculo de los coeficientes Ai impondremos la exactitud de la f´rrmula
a
o
k
sobre los polinomios x , 0 ≤ k ≤ n, de la base Pn (R):
n

Ai x k=
i
i=0

dν k
( x ) | x= α ,
dxν

o equivalentemente:

2

0 ≤ k ≤ n,

n

Ai xk = 0,
i

0 ≤ k ≤ ν − 1,

i=0
n

Ai xk = k (k − 1)...(k − ν + 1)αk−ν −1 ,
i

ν ≤ k ≤ n.

i=0

Este S.E.L. de (n + 1) ecuaciones y (n + 1) inc´gnitas con matriz de ”Vandero
monde” (por tanto, inversible) tiene soluci´n unica. Resolviendo el sistema
o´
se obtienen los valores de loscoeficientes Ai , i = 0, ..., n.

1.2

Ejemplo:

- Partimos de la tabla de valores:
xi
f ( xi )

1234
7 2 0 −1

Entonces, para:
x 0 = 1 , x1 = 2 , x 2 = 3 , x 3 = 4
se busca:
f ”(α) ≃ A0 f (x0 ) + A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ) + A3 f (x3 )
= 7A0 + 2A1 − A3
Debemos resolver el sistema:










A0
A0
A0
A0

+ A1 + A2
+ A3
+ 2A1 + 3A2 + 4A3
+ 4A1 + 9A2 + 16A3
+ 8A1+ 27A2 + 64A3

=0
=0
=2
= 6α

Para α = 5 la soluci´n es:
o
A0 = − 2 ,

A1 = 7,

A2 = −8,

A3 = 3

Por tanto:
f ”(5) ≃ 7 ∗ (−2) + 2 ∗ 7 − 3 = −3

3

1.3

Teorema 2:

(F´rmula para el error de derivaci´n) Si f ∈ C n+1 ([a, b]) d´nde [a, b] es un
o
o
o
intervalo que contiene los nodos x0 , x1 , ..., xn , entonces se tiene que el error
cometido para la primera derivadaen los nodos verifica la acotaci´n:
o

′
|f ′ (xi ) − Pn (xi )| sup ≤
ζ ∈[a,b]

|f (n+1 (ζ )|
|xi − x0 |...|xi − xn |
(n + 1)!

* Observaci´n 1: -Se pueden obtener tambi´n, aunque son mucho m´s
o
e
a
complejas, las f´rmulas de error para las derivadas de orden superior y
o
para puntos α que no sean nodos.

1.4

An´lisis del error en la diferenciaci´n num´rica
a
o
eSupongamos que hacemos los c´lculos con un computador y que escribimos:
a
f ( x0 − h ) = y − 1 + e − 1 , ( x0 + h ) = y1 + e 1 ,
donde y − 1, y1 son los valores obtenidos con el computador y e − 1, e1 son
los errores de redondeo.
Si usamos la f´rmula centrada de tres puntos f ′ (x0 ) =
o
f ′ ( x0 ) =

y1 − y − 1
2h

entonces

y 1 − y −1
+ E (f, h),
2h

d´nde E (f, h) es el errorcometido al sumar el error de truncamiento, Etrunc (f, h),
o
y el error de redondeo, Ered (f, h),dados por
Etrunc (f, h) =
Ered (f, h) =

Si adem´s se cumple que:
a
4

h2 f 3) (α)
6

e 1 + e −1
.
2h

2)M=m´x{|f 3) (x)/a ≤ x ≤ b}
a

1)|e−1 | ≤ ǫ, |e1 | ≤ ǫ,

entonces

|E (f, h)| ≤

ǫ
h

2

+ M6h , y el valor de h que minimiza la expresi´n
o

del miembro derecho de estaultima desigualdad es el llamado incremento
´
optimo.
´
3ǫ
h = ( ) 1 /3
M

2
2.1

´
PROPIEDADES DE LAS FORMULAS DE
´
DERIVACION DE T.I.P.
Invarianza por translaciones:

Si

n
(ν

f (α ) ≃

Ai f (xi )
i=0
n

f (ν ( α + b ) ≃

B i f ( x i + b)
i=0

entonces Bi = Ai ,

2.2

∀i = 0, ..., n.

Modificaci´n por homotecias:
o

Si

n

f (ν ( α ) ≃

Ai f...