Derivacion

Funciones de varias variables (II)

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TEMA 3 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (II):
DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN
1. Derivadas direccionales y derivadas parciales.
Definición.
Sea f(x) una función definida sobre el abierto C de Rn y con valores en R. Se
denomina derivada (primera) de f en el punto a ∈ C respecto al vector no nulo
df
u ∈ R n y se representa por
(a ) al siguiente límite,si es que existe y es finito:
du
df
f (a + λ .u) − f (a )
(a ) = lim
λ →0
du
λ
Si el vector u de la definición anterior tiene por norma la unidad, la derivada se
denomina direccional en la dirección dada por el vector u.
Si el vector u de la definición anterior coincide con el i-ésimo vector de la base
canónica de Rn, a la derivada se le denomina derivada parcial de f(x) en a respecto∂f
(a ) , verificándose por tanto que:
a xi y se representa por
∂x i
f (a1 ,..., a i −1 , a i + h, a i +1 ,..., a n ) − f (a1 ,..., a i −1 , a i , a i +1 ,..., a n )
∂f
(a ) = lim
h →0
∂x i
h
Definición.
Se denomina función derivada de f respecto al vector no nulo u a la función:
df
:C → R
du
df
x→
( x)
du
2. Propiedades de la derivación.
Propiedad.
Sea f(x) una funcióndefinida en un abierto C de Rn con valores en R y sea a un
punto de C. Para la derivada parcial de f(x) en a respecto a la i-ésima variable xi son
de aplicación las reglas de derivación de las funciones de una variable,
considerando como única variable a xi y el resto de las variables de f(x) como fijas
(constantes) en la expresión de la función.
Propiedad.
La existencia de todas las derivadas def en a respecto a los diferentes vectores u no
nulos, no es ni necesaria ni suficiente para que f(x) sea continua en a.
3. Diferencial de una función de varias variables.
Sea:
∆f (a1 + ∆x1 ,..., a i + ∆xi ,..., a n + ∆x n ) =
= f (a1 + ∆x1 ,..., ai + ∆x i ,..., a n + ∆x n ) − f (a1 ,..., a i ,..., a n )
Definición.

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Se dice que la función f (x1 ,..., xi ,..., x n ) es diferenciable en el punto
a = (a1 ,..., a i ,..., a n ) cuando para todo ∆x = (∆x1 ,..., ∆x i ,..., ∆x n ) se tiene que:
n

n

i =1

i =1

∆f (a1 + ∆x1 ,..., a i + ∆xi ,..., a n + ∆x n ) = ∑ Ai .∆xi + ∑ α i (∆x1 ,..., ∆xi ,..., ∆x n ).∆xi
donde las Ai (i=1,...,n) son constantes independientes de (∆x1 ,..., ∆xi ,..., ∆x n ) ,
aunque pueden depender del punto aen que se trabaje, y las funciones α i verifican
que: lim α i (∆x1 ,..., ∆xi ,..., ∆x n ) = 0 (i=1,...,n).
∆x →0

En dicho caso se denomina diferencial de la función f en el punto a a la aplicación
lineal (de variables ∆x1 ,..., ∆x n ):
n

df a = ∑ Ai .∆xi
i =1

Propiedad.
Si la función f(x) es diferenciable en el punto a, entonces:
n
∂f
df a = ∑
(a ).∆x i
i = 1 ∂x i
Propiedad.Una condición necesaria y suficiente para que una función f(x) sea diferenciable en
el punto a es que sea nulo el límite siguiente:


[ f (a1 + ∆x1 ,..., a n + ∆x n ) − f (a1 ,..., a n )] −  ∂f (a ).∆x1 + ... + ∂f (a ).∆x n 
∂x n
 ∂x1

lim
2
2
∆x →0
(∆x1 ) + ....... + (∆x n )
Definición.
Se denomina aplicación diferencial de la función f(x) a la aplicación:
df : C ' → L( R n ,R)
x → df x
donde C’ es el subconjunto formado por los puntos de C en los que la función f(x)
es diferenciable.
NOTACIÓN.
Puesto que si f(x1,...,xi,...,xn)=xi se verifica que:
dxi = ∆xi
la diferencial de una función en un punto se representará por:
n
∂f
df a = ∑
(a ).dxi
i = 1 ∂x i
y la aplicación diferencial por:
n
∂f
df = ∑
( x ).dxi
i = 1 ∂x i
4. Condiciones necesarias dediferenciabilidad.

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Teorema.
Una condición necesaria para que f(x) sea diferenciable en el punto a es que sea
continua en dicho punto.
Teorema.
Una condición necesaria para que f(x) sea diferenciable en el punto a es que en
∂f
dicho punto existan las derivadas parciales
(a ) (i=1,...,n).
∂x i
5. Condiciones suficientes de diferenciabilidad....