Derivada

CÁLCULO DIFERENCIAL

Amaury Camargo y Favián Arenas A.

Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

Cálculo Diferencial

UNIDAD 3
5.
5.1.

Derivada y Continuidad.
Recta tengente y recta normal.

Idea intuitiva de recta tangente. Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la recta tangente a una circunferencias en uno de sus puntos, pero sitratamos de generalizar esa idea a otras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve. -¿Puede la recta tangente cortar a la curva en más de un punto? -¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?

De nición .15 Se llama tangente a una curva en un punto P a la recta que pasa por P con la misma dirección que la curva. En un punto de in exión la tangenteatraviesa la curva. Pudiéndose distinguir tres tipos de puntos de in exión: De tangente vertical, horizontal y oblicua.

En un punto anguloso, de desvío brusco o de retroceso, la curva o bien no tiene tangente o la tangente es vertical ( ver gura de recta vertical). La tangente no puede ser oblicua, ya que este

Arenas A.

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Camargo B.

5.1

Recta tengente y recta normal.

Cálculo Diferencialcaso la correspondencia no sería función.

En los puntos de discontinuidad no se de ne la recta tangente La pendiente de la recta tangente. El valor aproximado de la pendiente de la recta tangente sería: f (x) f (x0 ) tan w x x0 Y su valor exacto: f (x) f (x0 ) tan w l m x !x0 x x0

5.1.1.

De nición de derivada.

De nición .16 Se llama derivada de la función f en el punto x0 al siguiente límitesi existe y es nito. f (x) f (x0 ) lm x !x0 x x0 Observaciones:

Arenas A.

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Camargo B.

5.1

Recta tengente y recta normal.

Cálculo Diferencial

Cuando dicho límite sea in nito se dice que la función no es derivable, aunque tiene una derivada in nita. (grá camente signi ca que la recta tangente en ese punto es vertical) Para que la derivada exista, la función tiene que estar de nida en unentorno del punto. No olvidar que la derivada es un límite, aunque buscaremos reglas para calcular derivadas sin tener que hacer dicho límite. f (x) f (x0 ) A la expresión , se llama cociente incremental y se expresa de la forma: x x0 f = x y f (x) = x x f (x0 ) x0

Con lo cual la derivada no es más aue el límite del cociente incremental cuando el incremento de x tiende a cero. f (x0 ) f 0 (x0 ) = lm x !0 x Otra forma de la derivada.

De la gura tenemos que : f 0 (x0 ) = l m
x

f (x) !x0 x

f (x0 ) x0

Llamando x

x0 = h, será x = x0 + h, con lo cual resulta: f 0 (x0 ) = l m
h

f (x0 + h) !0 h

f (x0 )

Ejemplo .21 Calcular, aplicando la de nición en las dos formas, la derivada de la función f (x) = 3x2 , en el punto x = 2. Arenas A. 54 Camargo B.

5.1

Recta tengente y recta normal.Cálculo Diferencial

Solución:
x

f 0 (2) = l m 12
0

f (x) !2 x

3x2 f (2) = lm x !2 x 2

12 3 (x2 4) 3 (x + 2) (x = lm = lm x !2 x !x0 2 x 2 x 2 12

2)

=

3 (2 + h)2 12 3 (4 + 4h h2 ) f (2 + h) f (2) f (2) = l m = lm = lm h !0 h !0 h !0 h h h 12 + 12h + 3h2 12 = lm = l m (12 + 12h) = 12 + 0 = 12 h !0 h !0 h 5.1.2. Derivadas laterales.

Si el límite que de ne la derivada lo tomamos sólamente por laderecha o por la izquierda, obtemnemos las derivadas laterales. De nición .17 Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda, respectivamente, a los siguientes límites, si existen y son nitos: f 0 (x0 +) = l m f 0 (x0 f (x0 + h) x !0+ h !0+ x h f (x0 + h) f (x) f (x0 ) = lm )= lm x !0 h !0 x h = lm f (x) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )

Para que la función sea derivable las dos derivadaslaterales tienen que coincidir. Ejemplo .22 Calcular las derivadas laterales de la función valor absoluto, en el origen de coordenadas. Solución:

y = jxj

f (x) = jxj f 0 (x0 +) = f 0 (x0

f (x) x !0+ x f (x) ) = lm x !0 x lm

f (0) jxj x = lm = lm =1 x !0+ x x !0+ x 0 f (0) jxj x = lm = lm = x !0 x x !0 0 x

1

Arenas A.

55

Camargo B.

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Recta tengente y recta normal.

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