DERIVADA



La Derivada

1.-Definición de Derivada
2.-Representación gráfica
3.-Reglas de derivación
4.-Interpretación Económica
5.-Ejemplos: curvas de Demanda y Costos
6.-Máximos y MínimosConcepto de Derivada
Sean dos variables relacionadas por una función y = f(x)
La Derivada es la tasa de cambio de una variable ”y” ( Δy) como respuesta al cambio de otra variable “x” ( Δx ) esto esdy= Δy / Δx cuando el cambio Δ es pequeño.
El cambio en y por unidad de x se representa por el cociente
Δ y/ Δ x = f ( x0 + Δ x ) – f ( x0 ) / ( x0 + Δ x – x0 )

El Límite Δ x tiende a 0entonces se tiene la derivada f ´ ( x)
Lim Δ y / Δx = f ´(x)
Δ x →0

Representación gráfica de la derivada
Ver gráficas 1y 2.

Reglas deDerivadas
Derivada de una constante
y = k ; y´ = dy/dx = 0
De una función potencial
y = xn ; y´= dy/dx = nxn-1
De una función potencial generalizaday = C xn ; y´ = dy/dx =n C xn-1

Suma o resta de funciones
f (x) ± g(x) ; f´(x) ± g´(x)
df(x)/dx ± dg(x)/dx
Producto de funciones f(x) g(x) ;f´(x) g(x) + g´(x) f(x)
g(x)df(x)/df(x) +f(x)dg(x)/dx
Cociente de funciones f(x) / g(x) ;

(f(x) g´(x) – g(x) f´(x) ) / g(x)2

[(f(x)(dg(x)/dx) – g(x)(df(x)/dx)]/g(x)2

De una funcióninversa
y = f(x) , x = g(y) ; y´ = 1 / g´(x)

dy/dx = 1 /(dg(x)/dx)

Funciones Compuestas ( Regla de la Cadena )
z = f (y) , y = g (x) ; z´ =f´(y) g´(x)
dz/dx = (dz/dy)(dy/dx)

Funciones exponenciales
y = eC x ; y´= dy/dx =C eC x
Funciones Logarítmicas
y = ln Cx ; y´= dy/dx = C / C xy = ln Cx2 ; y´ = dy/dx =2 C x / C x2


Ejemplos de Derivadas

Suma y resta de funciones
C = costo, q = unidades de producción
C = q3 -4 q2 +10q+75;
C´ = dC/dq = = 3q2 – 8q+10...