Derivadas (archivo con propiedades)

Derivada :
Def: sea una función continua en definiremos la derivada de como :

Que se puede denotar :

Donde cabe destacar la diferencia existente entre :

donde : Es la derivada de y con respecto a x

Es la derivada de x con respecto a y La interpretación geométrica de la derivada es : "La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a tal función "

Ejemplos dederivada ocupando la definición : Derivar usando la definición :

nos queda :

pero que ocurre cuando tenemos que derivar :

Es un poco mas laborioso ocupar esa definición para funciones mas extensas , por eso existen las formulas de derivación , para ahorrarnos trabajo , son las siguientes : Primero definiremos : sean u y v funciones de una misma variable . n pertenecientes a los naturales c unnumero real 1) Derivadas algebraicas ( suma , resta , multiplicación . etc...)

2) derivadas de razones trigonometricas :

3) derivadas exponenciales y logarítmicas :

4) derivadas de las funciones arcos :

Esas son todas las formulas de derivación , la mejor forma de aprendérselas es con muchos ejercicios , que fácilmente los pueden encontrar en los propuestos de fmat .

Ejemplos dederivadas : 1) Derive : a) entonces la derivada quedaría ocupando la formula:

b) ocupando la formula del producto y de cosecante : con u y v funciones de misma

variable nos queda:

c)

d)

e) demostrar que

satisface la ecuación:

entonces derivamos la función :

y la reemplazamos en la ecuación que nos indican:

luego también reemplazamos la función sin derivar y resolvemos:Quedando demostrada la igualdad . 1.1 Derivada implicita :

Nosotros cuando estamos en presencia de funciones explícitamente escritas , ósea que las variables se pueden despejar una en función de la otra , podemos derivar tranquilamente con las formulas de derivación pertinentes sin problemas , un ejemplo de función explicita es el siguiente :

Pero cuando estamos en presencia de funcionesimplícitas , ósea las variables no se pueden despejar una en función de otra , como es el caso por ejemplo :

Tenemos que derivar usando la derivación implícita , trata de lo siguiente , cuando derivamos implícitamente , dependiendo a que variable estemos buscando la derivada tendremos que a esa variable al derivarla multiplicarla por la derivada de esa variable con exponente 1 , ósea es comomultiplicar por un 1 y así no alterar el resultado .

Ejemplo de derivada implícita :

Derivemos la siguiente función con respecto a x , ósea :

como nos damos cuenta cada vez que derivamos la variable y , le multiplicamos el uno característico que explique , luego arreglamos algebraicamente para despejar ese y' :

1.2 Derivación logarítmica : Se aplica cuando el exponente de una función esotra función :

se hace lo siguiente :

ejemplo :

2.0 Aplicaciones de la derivada : 1) Como definimos al principio , la derivada es la pendiente de la recta tangente de la función en cuestión , entonces vamos a ver las ecuaciones de las rectas tangente y normal : Recta tangente : la recta tangente a una función f(x) en un punto que toca en ese punto a la función , llamándose punto detangencia : La ecuación es la siguiente : es una recta L

donde claramente vemos que la pendiente es la derivada de la función . Recta normal : es la recta perpendicular a la recta tangente , cuya ecuación es la siguiente :

- Cabe recordar dos puntos : a) rectas paralelas : son aquellas rectas que sus pendientes son iguales . b) rectas perpendiculares : son aquellas rectas cuyas pendientes al sermultiplicadas entre si dan como resultado -1 . 2.1 Aplicación en limites : Se ocupa cuando el limite no se puede calcular , obteniendo una forma indeterminada de la forma : entonces se define lo siguiente : sean f(x) y g(x) funciones continuas y derivables y el siguiente limite :

obteniendo una forma indeterminada , entonces se puede calcular de la siguiente forma :

Esta regla es la famosa...