derivadas de una funsion

INTRO. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como paracomprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.



La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.


La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el puntode abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

DERIV. DE UNA FUNC. EN UN PUNTOSea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0 )) y (x0 + h,f(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).


que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo devértices (x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:





Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, tg h tiende a tg , es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

Esto se expresa matemáticamente así:




Derivada de una función en un punto

Dada unafunción y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al
f'(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):





Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.


Significado de la derivada

Puesto que



la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente ala curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).


Ejercicio: cálculo de la derivada de una función en un punto
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 Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Resolución:

• Se pide el valor de f''(1) (en este caso, x0 = 1).Por tanto, f'(1) = 3.

 Calcular la derivada de la función f(x) = en el punto 2.

Resolución:





(conjugado del numerador)




Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:




Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto
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 Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2.

Resolución:


• La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).

• La pendiente de la tangente a lacurva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f'(2), luego la ecuación de la recta es de la forma y - 4 = f'(2) (x - 2).




La ecuación de la tangente es entonces y - 4 = 4(x - 2)  y - 4 = 4x - 8 
4x - y - 4 = 0.
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Ejercicio: estudio de la derivabilidad de...