Derivadas direccionales

Introducción al Calculo Infinitesimal.
I.T.I. de SISTEMAS.

Funciones reales de varias variables reales.-

4.3.- DERIVADAS DIRECCIONALES ; VECTOR
GRADIENTE.Derivada de una función en una dirección dada.
Sea f(x,y) una función definida en un dominio D incluido en R2.
Dado un vector unitario v, la derivada de f en un punto p, en la dirección de v, se define por:
f( p + hv ) − f( p ).
fv( p ) = lim
h
h→0
Este limite se puede calcular directamente si f se define como función de una variable vectorial. Si
se define como función de varias variables escalares, sera necesario escribir la expresión del limite
en esta forma: f( a1, .., an ) en lugar de f(a), de modo que si lo aplicamos a una función de dos
variables sera:
fv( x0, y0 ) = lim

h→0

f( p + hv ) − f( p)
h

siendo p=( x0, y0 )

y

v = ( v1 , v2 )

Para funciones de dos variables, un vector unitario v siempre se puede expresar de la forma
[ cos( θ ), sin( θ ) ] y hablaremos de la derivada direccional en la dirección correspondiente al
angulo θ. Se escribira: v = i cos( θ ) + j sin( θ ), y θ representa el angulo que forma el vector con
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la parte positiva del eje deabscisas.
Si f (x,y) es una función de dos variables y v = [ cos( θ ), sin( θ ) ] una dirección dada, la
derivada de f en la dirección de v sera:
f( x + h cos( θ ), y + h sin( θ ) ) − f( x, y )
, si dicho limite existe y es finito.
h

fv ( x0, y0 ) = lim

h→0

Notas.
-- Hay que resaltar que las derivadas parciales son casos particulares de las direccionales;
concretamente para losdirecciones (1,0) y (0,1) respectivamente:
fx( p ) = f(1,0)( p )

y

fy( p ) = f(0,1)( p )

-- Es posible que exista la derivada parcial de f en p segun una dirección y que no exista en otra.

Interpretación geometrica.
Si la función z = f(x,y) admite plano tangente en un punto p de su dominio, todas las derivadas
direccionales por dicho punto se encuentran sobre el plano tangente ylos vectores v estan situados
en el dominio.

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El numero fv( x0, y0 ) nos da la pendiente de la recta tangente a la superficie por p = ( x0, y0
) , en la dirección del vector unitario v = [ cos( θ ), sin( θ ) ] y representa la tasa o razón de
cambio instantaneo de la función en la dirección del vector.
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Podemos expresar, si existe el plano tangente, que fv( p ) =cos(θ ) fx( p ) + sin( θ ) fy( p ),
expresión que se corresponde con el producto escalar de los vectores ( fx, fy) y (cos( θ ), sin( θ )
), donde el primero de ellos es especialmente interesante de modo que hablaremos de el de manera
inmediata: vector gradiente.

Ejemplo 1.
Calcular la derivada de f( x, y )= 1 − x2 + 2 y2en el punto P = (1,-1) y la dirección v =( 3,4).
3 4
Como v no esunitario, dividimos por su módulo => v = ( , ).
5 5
⎛
h3
h4⎞
⎟ + f( 1, −1 )
f⎜ 1 +
, −1 +
⎜
⎟
⎝
5
5 ⎠
fv ( 1, −1 ) = lim
h
h→0
⎛
h 3 ⎞2
⎛
h 4 ⎞2
22 h 23 h2
⎜1 +
⎟ + 2 ⎜ −1 +
⎟ −2
1−⎜
−
+
⎟
⎜
⎟
⎝
5 ⎠
⎝
5 ⎠
25
25
22
= lim
= −
= lim
h
h
5.
h→0
h→0
Usando el gradiente:
Entonces fx= -2x y fy= 4y de modo que en P queda:
(fx, fy)= (-2,-4) con lo que:
3 46 16
22
fv( P ) = ( , ) (-2,-4) = − −
= .
5 5
5
5
5
Y este camino es posible hacerlo ya que la funcion usada es diferenciable, admite plano tangente,
en cualquier punto de su dominio y por lo tanto en P.
Ejemplo 2.
Calcular la derivada de f( x, y )= 4 − x2 − y2en el punto P = [
=(

1

,

3 3 ⎛3 3⎞
, , f⎜ , ⎟ ] y la dirección v
⎜
⎟
4 4 ⎝4 4⎠

1

).
2 2
>restart:f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
f := ( x, y ) → 4 − x2 − y2
> with(linalg):with(plottools):with(plots):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace

> f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
v:=[cos(Pi/4),sin(Pi/4)];
p:=[3/4,3/4];P:=[3/4,3/4,f(3/4,3/4)];
print("_________________POR LA
DEFINICION__________________________");
Limit((f(3/4+h*cos(Pi/4),3/4+h*sin(Pi/4))-f(3/4,3/4))/h,h = 0);...