8 DERIVADAS DIRECCIONALES 4

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
PROGRAMA DE ECONOMIA
CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES.

DOCENTE: Mag. Erwin Maury Mancilla

2.5.3 Derivadas direccionales.

En la sección anterior se vio que la derivada parcial de una función con respecto a x (o a y) corresponde a la pendiente de la recta, paralela al eje X (o paralela al eje Y), que es tangente a la curvaque resulta de la intersección de un plano paralelo al eje al eje X (o paralela al eje Y) con la gráfica de f. Es decir, en las derivadas parciales, los planos de intersección con la superficie van en dirección del eje X o del eje Y.

¿Pero qué se sucede si el plano de intersección va en dirección diferente a los ejes? Esta situación da origen al concepto de derivadas direccionales, concepto quese estudiará a continuación.

Antes de estudiar las derivadas direccionales, primero se recordarán algunos conceptos relacionados con vectores que serán utilizados en esta sección.

Vectores:
Los vectores pueden expresarse en función de sus coordenadas de la siguiente manera:
Dos dimensiones Tres dimensiones

En donde , son vectores unitarios que indican la dirección de los ejes X, Y, Zrespectivamente.
La fórmula para calcular el módulo de un vector es:
Dos dimensiones Tres dimensiones

Producto escalar de dos vectores.
Al multiplicar escalarmente dos vectores se obtiene como resultado un número.
Dos dimensiones Tres dimensiones
Si y Si y
Entonces: Entonces:



Vector unitario de un vector dado.
Sea un vector , el vector unitario correspondiente al vector es:Determinación de la ecuación vectorial de un vector.
Si el vector está entre los puntos y , su ecuación vectorial se obtiene restando las componentes del punto del extremo del vector menos las coordenadas del punto del origen del vector.

Derivadas direccionales.

Sean definida por , cuya gráfica es una superficie S; el punto P( que está sobre S y B el plano vertical en la dirección del vectorunitario que pasa por P e interseca a la superficie S en la curva C. La pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto P es la derivada de en la dirección del vector unitario y y se simboliza así:


















Si es cualquier vector con la misma dirección que también se afirmará que es la derivada direccional de en la dirección de .

El siguiente teorema sirve calcular laderivada direccional de una función f en la dirección del vector unitario .

TEOREMA: Si es una función diferenciable de dos variables y = u1 + u2 es un vector unitario, entonces:



Ejemplo 2.5: Calcule la derivada direccional de z = f(x, y) = x2y + xy2 en el punto P (2, 1) en la dirección del vector:


Solución (a):
Primero se calcula las derivadas parciales en el punto P (2,1):


Segundo,se identifican las componentes del vector unitario:

Y tercero, se reemplazan los valores hallados en el teorema:

Esto nos dice que la razón de cambio de z en P en la dirección del vector es , es decir, que z en esta dirección está creciendo.

Solución (b):
Como el vector dado no es unitario, se halla el vector unitario en la dirección del vector , aplicando la siguiente fórmula:



Entonces,se tiene que:

Por lo tanto:




Reemplazando estos valores en el teorema:


2.5.4 Gradiente en un punto de una función.

Se llama gradiente en un punto de una función real de varias variables reales al conjunto ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto.

Por tanto, el gradiente de una función definida por en el punto es:

Se simboliza por Es decir,


Cada derivada parcialen el punto se llama componente del gradiente en ese punto.

El gradiente en un punto de una función informa lo que varía la función (variable dependiente) por cada unidad que varía cada variable en el punto que se considere. Por ejemplo, que el gradiente de una función definida por en el punto (3, −2) sea (2,0) significa que, por cada unidad que varía en los entornos más pequeños de 3...