derivadas impropias

CAP´ITULO XII.
INTEGRALES
IMPROPIAS
SECCIONES
A. Integrales impropias de primera especie.
B. Integrales impropias de segunda especie.
C. Aplicaciones al c´alculo de ´areas y vol´umenes.
D. Ejercicios propuestos.
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A. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE.
El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos
cerrados [a, b], con a, b 2 R. Este concepto sepuede extender eliminando
estas restricciones. Ello da lugar a las integrales impropias.
Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo de
integraci´on es infinito, ya sea de la forma (a,1), (-1, b) o bien (-1,1),
pero la funci´on est´a acotada. Para cada uno de los casos indicados se define
Z 1
a
f(x) dx = l´ým
B!1
Z B
a
f(x) dx,
Z b
-1
f(x) dx = l´ým
A!-1
Zb
A
f(x) dx,
Z 1
-1
f(x) dx = l´ým
A!-1
B!1
Z B
A
f(x) dx, 1
y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el l´ýmite
existe y es finito y divergente en caso contrario. Las siguientes propiedades
son an´alogas a las correspondientes en las integrales propias (s´olo consideraremos
el caso del intervalo (a,1) pues el segundo caso se puede reducir
al primero conel cambio de variable t = -x y el tercer caso es combinaci´on
de los dos anteriores al descomponer la integral en dos sumandos).
PROPIEDADES.
(1) La convergencia de la integral no depende del l´ýmite de integraci´on real.
Es decir,
Z 1
a
f(x)dx converge ()
Z 1
b
f(x)dx converge.
(2) Homog´enea. Si
Z 1
a
f es convergente, entonces
Z 1
a
f es convergente,
para todo  2 R y secumple:
Z 1
a
f = 
Z 1
a
f.
(3) Aditiva. Si
Z 1
a
f,
Z 1
a
g convergen, entonces
Z 1
a
(f + g) converge y
adem´as Z 1
a
(f + g) =
Z 1
a
f +
Z 1
a
g.
110
(4) Integraci´on por partes. Si f y g tienen derivadas de primer orden
continuas en [a,1) y dos de los tres l´ýmites
l´ým
b!1
Z b
a
f(x)g0(x) dx, l´ým
b!1
Z b
a
f0(x)g(x) dx, l´ým
b!1
[f(b)g(b)-f(a)g(a)]existen, entonces el tercero tambi´en existe y se tiene que
Z 1
a
f(x)g0(x) dx = l´ým
b!1
[f(b)g(b) - f(a)g(a)] -
Z 1
a
f0(x)g(x) dx.
(5) Si
Z 1
a
|f| converge, entonces
Z 1
a
f converge.
Esta ´ultima propiedad permite definir el concepto de convergencia absoluta
para el caso en que la funci´on integrando no tenga signo constante
en [a,1).
Dada una funci´on f integrable en [a, x],para todo x > a, se dice que
Z 1
a
converge absolutamente si la integral
Z 1
a
|f| converge, y que
Z 1
a
f converge
condicionalmente si
Z 1
a
f converge pero
Z 1
a
|f| diverge.
En los casos en que no sea posible (o no sea necesario) calcular expl´ýcitamente
la integral, su convergencia se puede deducir por alguno de los siguientes
criterios (observar el paralelismo que mantienenalgunos de estos criterios
con sus correspondientes para la convergencia de series).
CRITERIOS DE CONVERGENCIA.
(1) Criterio de comparaci´on. Si f y g son funciones continuas en [a,1)
y 0  f(x)  g(x), 8x > a, entonces 0 
Z 1
a
f(x) dx 
Z 1
a
g(x) dx.
Por tanto, si
Z 1
a
g(x) dx converge, entonces
Z 1
a
f(x) dx converge.
(2) Comparaci´on por paso al l´ýmite. Sean f y gcontinuas y no negativas
en [a,1).
a) Si l´ým
x!1
f(x)
g(x)
=  6= 0,  finito, entonces
Z 1
a
f(x) dx converge ()
Z 1
a
g(x) dx converge.
b) Si l´ým
x!1
f(x)
g(x)
= 0, entonces
Z 1
a
g(x) dx converge =)
Z 1
a
f(x) dx converge.
111
En muchos casos, debido a que
Z 1
1
1
x dx converge si  > 1 y diverge
si   1 (ver problema 12.1), se aplica el criterio anterior con g(x) =1/x. Este queda entonces as´ý:
(3) Sea f una funci´on continua y no negativa en [a,1).
a) Si l´ým
x!1
xf(x) =  6= 0,  finito, entonces
Z 1
a
f(x) dx converge ()  > 1.
b) Si l´ým
x!1
xf(x) = 0 y  > 1, entonces
Z 1
a
f(x) dx converge.
c) Si l´ým
x!1
xf(x) = 1 y   1, entonces
Z 1
a
f(x) dx diverge.
(4) Criterio de Dirichlet. Sean f una funci´on continua con primitiva...