Integrales Impropias

INTEGRALES IMPROPIAS


Intervalo de integración no acotado o integrales de primera especie.

Definición : (Integral impropia de 1ª especie convergente)
Sea [pic] continua para x [pic] a. Siexiste[pic][pic],
se dice que [pic] tiene integral impropia convergente desde “a” hasta [pic]
El valor del límite se denota [pic].

Es decir: [pic][pic]
Ejemplo 1 : Calcular si es que existe,[pic]
Solución :

[pic] [pic]= [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] = [pic] [pic] = 1

[pic][pic] es una integral de 1ª especie convergente con valor 1

Definición : (Integral impropia de 1ª especiedivergente)

Sea [pic] una función continua para x [pic] a. Si no existe [pic],diremos que
[pic]tiene integral impropia divergente.

Ejemplo 2 : Determinar el área de la región que está entre eleje X y la curva [pic],
a la derecha de x = 1. Trazar la gráfica.


Solución : Esta área está dada por :

[pic] [pic] [pic] [pic][pic][pic][pic][pic][pic]= [pic] =[pic] [pic]

El área esinfinita, es decir, [pic] es una integral impropia divergente.

Observación :

La integral impropia [pic]es divergente porque [pic]cuando [pic]

Pero una integral impropia puede ser divergente sinser infinita.


Por ejemplo :[pic] .
Se tiene : [pic] [pic]

[pic], cuando b[pic] no tiene límite ni se hace arbitrariamente grande, si no que oscila entre

+ 1 y – 1, con infinita frecuencia.La integral impropia [pic] se define análogamente considerando [pic] para [pic] negativos de valor absoluto grande. Si

[pic][pic], existe, se denota [pic]

En tal caso, se dice que laintegral impropia[pic] es convergente.

Si no existe[pic] [pic], entonces se dice que la integral impropia [pic] es divergente.

Para tratar integrales impropias sobre todo el eje X, definamos [pic]Como la suma [pic], que se dirá convergente si [pic],
son ambas convergentes.
Si al menos una de ellas es divergente, diremos que [pic] es divergente.

Ejemplo 3 :
Determinar el área de la...