Derivadas parciales

LOS EJEMPLOS CLASICOS
DE ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES DE LA FISICA
MATEMATICA
Introduccion
Este captulo pretende motivar el privilegio que se concede a determinadas ecuaciones
en derivadas parciales al estudiarlas de manera preferente.
Una buena razon para estudiar estos tipos de ecuaciones en derivadas parciales es
que, por una parte, son modelos muy aproximados de fenomenosfsicos basicos y por
otra, que son el inicio de la teora de Ecuaciones en Derivadas Parciales, inicio comun
con otras muchas disciplinas de la Fsica y de las Matematicas.
La mayora del contenido de este captulo fue generado a nes del siglo XVIII y
comienzos del XIX y lleva asociados los nombres de los matematicos mas eminentes
de este periodo historico. En esta epoca puedeapreciarse que las fronteras de las
Matematicas y de la Fsica Matematica eran aun mas difusas que en la actualidad y
los progresos en un area lo eran en la otra.
Ecuaciones, metodos y teoremas llevan los nombres de sus descubridores: Euler,
Bernouilli, Fourier, Gauss, Riemann, Green, Laplace, Poisson, Dirichlet y Lagrange,
entre otros, son los protagonistas de esta Historia.
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16Recomendamos la lectura de los captulos dedicados a Ecuaciones en Derivadas
Parciales del libro M. Kline, "El Pensamiento Matematico desde los tiempos antiguos
a los modernos" Alianza Editorial, 1992, para que el lector ample su perspectiva
historica.
La lectura del presente captulo debe servir para observar el proceso de modelacion
de fenomenos fsicos en ejemplos clasicos y noexcesivamente complicados, mediante
ecuaciones. Por su importancia el estudio de estos ejemplos ha motivado la construcci
on de teoras matematicas enteras.
Comenzaremos por elaborar la forma de medir "variaciones de magnitudes" en
varias dimensiones: teorema de Gauss.
Una vez hecho este estudio se introduciran los modelos que dan lugar a las tres
ecuaciones siguientes:
(1) ut = uxx,ecuacion del calor,
(2) utt = uxx, ecuacion de ondas,
(3) uxx + uyy = 0, ecuacion de Laplace.
A estos ejemplos y a variantes de ellos estara dirigida nuestra atencion en adelante.
Puede parecer poco ambicioso este proyecto, dedicar un curso a unos pocos ejemplos.
Pero hay que decir que el estudio profundo de estos tres ejemplos tan sencillos
en apariencia, ha dado las ideas sucientes parapoder abordar problemas mucho mas
generales y complicados. Muchas ideas estan en estos ejemplos y conocerlas bien
supone la posibilidad de explorar otros modelos mas complicados de forma razonablemente
asequible.
En esta direccion invitamos al lector a acompa~narnos en este estudio y a observar
tambien lo poderoso que resulta el lenguaje matematico. Una misma ecuacion puede
describirrealidades fsicas diversas como se vera en las siguientes secciones.
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1.1.- La divergencia.
Una manera de medir variaciones de magnitudes.
Se trata en esta seccion de estudiar las tasas de cambio de magnitudes en mas de
una dimension, es decir, de buscar un sustituto razonable de la derivada, que es el
concepto esencial para estudiar variaciones de magnitudes unidimensionales.
Haymuchas posibilidades a priori de encontrar esta sustitucion de la derivada,
pero veremos las que la Fsica Matematica ha tenido en cuenta por ser mas naturales
y por tanto mas utiles.
Para precisar las ideas consideremos el campo vectorial en R3
U(x; y; z) = u(x; y; z)e1 + v(x; y; z)e2 + w(x; y; z)e3
donde fe1; e2; e3g es la base canonica.
Para que resulte mas intuitivo supongase que Ues, por ejemplo, el campo de
velocidades de un
uido, es decir, en cada punto (x; y; z) 2 R3 se tiene el vector
velocidad U(x; y; z). Supongamos que
es una parte acotada de R3. >Como cambia
el volumen de
al desplazarse por el
ujo del
uido? >Hay giros rese~nables en el
movimiento?
Estas cuestiones quedaran claras despues de un analisis elemental de la situacion
mediante el...