Derivadas

Campus Los Ángeles Escuela de Educación Departamento de Ciencias Básicas

Universidad de Concepción

Prof. Dr. Cristian G. Pérez Toledo

GUÍA DE EJERCICIOS No 4
MATEMÁTICA

III — 23.06.2011

La derivada y Reglas de derivación
1. Para la función g cuya gráfica se muestra, ordene los siguientes números en orden creciente y explique su razonamiento: 0, g (−2), g (0), g (2), g (4). 6.Usando la definición de derivada como función, encuentre la derivada de cada función. Determine el dominio de la función y el dominio de su derivada. (a) (b) (c) (d) f (x) = 37 f (x) = 12 + 7x f (x) = 1 − 3x 2 f (x) = x + x

7. Dada la gráfica de f , determine los números en los cuales f no es derivable. Explique por qué.

2. Si la recta tangente a la gráfica de y = f (x) en (4, 3) pasa por el punto(0, 2), encuentre f (4) y f (4). 3. Trace la gráfica de una función f para la cual f (0) = 0, f (0) = 3, f (1) = 0 y f (2) = −1. 4. Usando la definición de derivada en un punto, encuentre f (a). (a) f (x) = 3 − 2x + 4x 2 (b) f (t ) = t 4 − 5t (c) f (x) = 3x + 1

8. Pruebe que f (x) = x|x| es derivable para todo x ∈ . Encuentre una fórmula para f . 9. Derive la función (sin usar las reglas delproducto, del cociente, o de la cadena). (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) f (x) = π f (x) = 30 f (x) = 5x − 1 F (x) = −4x 10 f (x) = x 2 + 3x − 4 g (x) = 5x 8 − 2x 5 + 6 f (t ) = 1 (t 4 + 8) 4

5. Cada límite representa la derivada de alguna función f en algún número a. Encuentre f y a en cada caso. (a) l´ ım (1 + h)10 − 1 h
4

h→0

(b) l´ ım (c) l´ ım

16 + h − 2

(h) f (t ) = 1 t 6 − 3t 4 + t2 (i) y = x −2/5 (j) y = 5e x + 3 (k) V (r ) = 4 πr 3 3 (l) R(t ) = 5t −3/5 1

h→0

h cos(π + h) + 1 h

h→0

(m) Y (t ) = 6t −9 (n) R(x) = 10 x7 (ñ) G(x) = x − 2e x (o) y =
3

(l) y = (m) y = (n) y =

(la variable es s) s + ke s v 3 − 2v v v x −1

1

x
5 1 x 2

(p) F (x) = (q) f (t ) =

t−

1 t 1

(r) g (x) = x 2 + (s) y = (t) y = (u) y =

x +1 x (ñ) f (x) = x + c/x ax+ b (o) f (x) = cx + d

x2 x(x − 1) x

x 2 + 4x + 3 x2 − 2 x

11. Suponga que f (5) = 1, f (5) = 6, g (5) = −3 y g (5) = 2. Encuentre los siguientes valores: (a) ( f g ) (5) f (b) (5) g g (5) (c) f 12. Suponga que f (3) = 4, f (3) = −6, g (3) = 2 y g (3) = 5. Encuentre los siguientes valores: (a) ( f + g ) (3) (b) ( f g ) (3) f (c) (3) g f (3) (d) f −g 13. Sean u(x) = f (x)g (x) y v(x) = f(x)/ g (x), donde f y g son las funciones cuyas gráficas se muestran. Encuentre u (1) y v (5).

x (v) g (u) = 2u + 3u c b (w) y = aev + + 2 (la variable es v) v v 1 (x) v = t 2 − 4 t3 (y) u =
3

t2 + 2

t3

(z) y = e x+1 + 1 10. Derive la función. (a) f (x) = x 2 e x (b) g (x) = xe x ex (c) y = 2 x ex (d) y = x +1 x +2 (e) h(x) = x −1 1 − u2 (f) f (u) = 1 + u2 (g) H (x) = (x 3 − x + 1)(x−2 + 2x −3 ) (h) H (t ) = e t (1 + 3t 2 + 5t 4 ) (i) y = (j) y = t2 3t 2 − 2t + 1 t3 + t

t4 − 2 (k) y = (r 2 − 2r )e r 2

14. Si f es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las siguientes funciones. (a) y = x 2 f (x)

(b) y = (c) y = (d) y =

f (x) x2 x2 f (x) 1 + x f (x) x

(h) y = a 3 + cos3 x (i) y = e−m x (j) y = 4 sec 5x (k) h(t ) = (t 4 − 1)3(t 3 + 1)4 (l) y = (2x − 5)4 (8x 2 − 5)−3 (m) y = (x 2 + 1) (n) y = xe−x
2 3

15. Derive la función. (a) f (x) = x − 3 sen x (b) f (x) = x sen x (c) y = sen x + 10 tan x (d) y = 2 csc x + 5 cos x (e) g (t ) = t 3 cos t (f) g (t ) = 4 sec t + tan t (g) h(θ) = csc θ + eθ cot θ (h) y = e u (cos u + c u) x (i) y = cos x 1 + sen x (j) y = x + cos x 16. Escriba la función en la forma f (g (x)),identifique la función interior u = g (x) y la función exterior y = f (u), luego encuentre la derivada dy dy du = . dx du dx (a) y = sen 4x (b) y = 4 + 3x
2 10

x2 + 2

(ñ) y = e−5x cos 3x (o) y = e x cos x (p) y = 101−x (q) F (z) = (r) G(y) = (s) y =
2

z −1 z +1 (y − 1)4 (y 2 + 2y)5

e2u

e u + e−u (t) y = 2sen πx 1 x x

(u) y = tan2 3θ (v) y = x sen (w) y =

x+

(x) y = ln(sen x...