Derivadas

DIFERENCIALES EXACTAS
Un matemático diferencial se dice para ser exactos, en contraste con un diferencial inexacta , si se trata de la forma dQ, para algunos diferenciable función Q.
La forma A (x, y, z) dx + B (x, y, z) dy + C (x, y, z) dz se llama una forma diferencial. Una forma diferencial es exacta en un dominio D en el espacio si A + B dx dy dz + C = df para alguna función f escalar através de D. Esto equivale a decir que el campo es conservador.
Información general
De una dimensión, un diferencial

Siempre es exacta.
En dos dimensiones, a fin de que un diferencial

Ser una diferencial exacta en una simplemente conexa región R del plano xy, es necesario y suficiente que entre A y B existe la relación:

De tres dimensiones, un diferencial

Es una diferencialexacta en una región R simplemente conexa del sistema de coordenadas xyz si entre las funciones A, B y C, existen las relaciones:
; ;
Nota: Los subíndices fuera de los paréntesis indican que las variables se mantienen constantes durante la diferenciación. Debido a la definición de la derivada parcial , los subíndices no son necesarios, pero se incluyen como un recordatorio.
Estas condiciones sonequivalentes a la siguiente: Si G es la gráfica de esta función vector valorado entonces en todos los vectores tangentes X, Y de la superficie G entonces s (X, Y) = 0 con s la forma simpléctica .
Estas condiciones, que son fáciles de generalizar, se derivan de la independencia de la orden de diferenciación en el cálculo de las segundas derivadas. Por lo tanto, para que un dQ diferencial, que esuna función de cuatro variables a una diferencial exacta, hay seis condiciones de satisfacer.
En resumen, cuando un dQ diferencial es exacta:
* la función Q existe;
* independiente de la trayectoria seguida.
En termodinámica , cuando dQ es exacta, la función Q es una función del estado del sistema. Las funciones termodinámicas U , S , H , A y G son funciones del Estado . En general,ni el trabajo ni el calor es una función de estado. Una diferencial exacta es a veces también llamado "diferencial total" o un "diferencial completo ', o, en el estudio de la geometría diferencial , que se denomina una forma exacta .
RELACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
Por tres variables, x, y y z obligado por alguna función diferenciable F (x, y, z), los siguientes diferenciales totales existe[1] : 667 y 669

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda y reordenando, se obtiene [1] : 669

Puesto que y y z son variables independientes, y, z d d se puede elegir sin restricción alguna. Para esta última ecuación para mantener, en general, los términos entre paréntesis deben ser igual a cero. [1] : 669
RELACIÓN DE RECIPROCIDAD
Establecer el primer término entre corchetes esigual a cero los rendimientos [1] : 670

Un reordenamiento ligera da una relación de reciprocidad, [1] : 670

Hay dos variantes de la deducción anterior que dan un total de tres relaciones de reciprocidad entre x, y y z. relaciones de reciprocidad muestra que la inversa de una derivada parcial es igual a su recíproco.
Relación Cíclica
Establecer el segundo término entre corchetes es igual acero los rendimientos [1] : 670

Utilizando una relación de reciprocidad para en esta ecuación y reordenando da una relación cíclica (la regla del producto triples ), [1] : 670

Si, en cambio, una relación de reciprocidad para se utiliza con el reordenamiento posterior, un formulario estándar para la derivación implícita se obtiene:

Algunas ecuaciones útiles derivados de las diferenciasexactas en dos dimensiones
Supongamos que tenemos cinco funciones del Estado z, x, y, u, v. Supongamos que el espacio de estados es de dos dimensiones y una de las cinco cantidades son diferenciales exactas. Luego por la regla de la cadena

Sino también por la regla de la cadena:

y

De modo que:

Lo que implica que:

Dejando v = y se obtiene:

Dejar u = y se obtiene:...