derivadas

Tema 6

Funciones diferenciables
Se sabe que la derivada y ′ de una funci´n de una variable, y = f (x), puede
o
interpretarse como la tasa de variaci´n de la variable y respecto de la variable
o
x (es por eso que, frecuentemente, para remarcar este hecho, se utiliza la
notaci´n dx para representar dicha derivada).
o dy
Supongamos que tenemos, ahora, una funci´n de dos variables. Porejemplo,
o
la presi´n de un gas ideal como funci´n del volumen y la temperatura del
o
o
gas puede expresarse:
cT
P =
V
donde c es una constante. Si estamos interesados en conocer c´mo var´ la
o
ıa
presi´n en funci´n del volumen, a temperatura constante T0 , parece l´gico
o
o
o
calcular la derivada de P respecto de V suponiendo constante la temperatura, es decir, calcular la derivadade la secci´n transversal de la funci´n
o
o
P = f (V, T ) = cT para T = T0 .
V
En este tema se ver´ que este procedimiento intuitivo es perfectamente v´lia
a
do y que esta derivaci´n parcial permitir´ obtener un mejor conocimiento
o
a
de las funciones de varias variables.

120

6.1.

Derivadas parciales

La derivada de una funci´n de una variable, f (x), en un punto x0 se defineo
como
f (x0 + h) − f (x0 )
f ′ (x0 ) := l´
ım
h→0
h
y dicho valor, si existe, representa la pendiente de la recta tangente a la
curva y = f (x) en el punto (x0 , f (x0 )). Como ya se ha dicho antes, tambi´n
e
se utiliza la notaci´n dx (x0 ).
o df
De forma similar, las derivadas parciales de una funci´n f (x, y) se definen
o
formalmente como l´
ımites:
Definici´n 6.1 Si f es un campoescalar de dos variables, las derivadas
o
parciales de f en un punto (x0 , y0 ) est´n definidas como
a
∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = l´
ım
h→0
∂x
h
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = l´
ım
h→0
∂y
h
si estos l´
ımites tienen sentido y existen. Observa que puede ocurrir que s´lo
o
exista una de las derivadas parciales o ambas o ninguna. Tambi´n sesuele
e
′
utilizar la notaci´n fx (x0 , y0 ) = ∂f (x0 , y0 ) y fy (x0 , y0 ) = ∂f (x0 , y0 ).
o ′
∂x
∂y
La derivada parcial en un punto (x0 , y0 ) es un n´mero real. Cuando las
u
derivadas parciales pueden calcularse en puntos gen´ricos (x, y) entonces ese
tamos definiendo una nueva funci´n escalar, que se llama funci´n derivada
o
o
∂f
∂f
parcial y que seguimos denotando por ∂x (x, y)( ∂y (x, y), respectivamente).
En ocasiones, prescindiremos del punto gen´rico y escribiremos, simplemene
te, ∂f ( ∂f , respectivamente). Esta derivada parcial coincide con una deri∂x ∂y
vaci´n ordinaria (respecto de una variable). Para verlo, considera la secci´n
o
o
transversal de f (x, y) para y = y0 ; es decir, la funci´n f (x, y0 ). Esta funci´n
o
o
s´lo depende de la variable x ypodemos calcular la derivada de esta funci´n
o
o
en x0 , obteniendo:
d
f (x, y0 )
dx

∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
=
(x0 , y0 )
h→0
h
∂x

= l´
ım
x = x0

es decir, que la derivada parcial de f respecto de x es la derivada de la
secci´n transversal de f correspondiente. Por tanto, la derivada parcial puede
o
121

calcularse con las reglas de derivaci´n ordinarias,suponiendo constante la
o
variable y.
An´logamente, la derivada parcial de f respecto de y es la derivada de la
a
secci´n transversal de f para x = x0 . Por tanto, la derivada parcial puede
o
calcularse suponiendo constante la variable x.
Ejemplo 6.1 Si f (x, y) = 5x2 y − sin(x + y), podemos diferenciar f con
respecto a x, considerando y como una constante, y obtenemos
∂f
(x, y) = 10xy −cos(x + y) .
∂x
De manera similar, si consideramos que la x es constante y derivamos respecto a y, obtenemos una funci´n,
o
∂f
(x, y) = 5x2 − cos(x + y) .
∂y
Ejemplo 6.2 Calcula las derivadas parciales de la funci´n f (x, y) = x7 y −
o
ex−y .
Soluci´n: En este caso podemos calcular las derivadas parciales en cualquier
o
punto (x, y) por el procedimiento de suponer constante una de las...