derivadas



Derivadas


1.- DEFINICIÓN DE DERIVADA.


.- INTERPRETACIÓN GEOMETRICA.


.- NOTACIÓN Y CÁLCULO A PARTIR DE LA DEFINICIÓN.


3.4.- LA DERIVADA COMO UNA RELACIÓN DE INCREMENTOS.


COMO PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA.


.- REGLAS DE DERIVACIÓN.


.- DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS.


.- REGLA DE LA CADENA.


.- DERIVADA DE FUNCIONESIMPLICITAS.


- DERIVADAS SUCESIVAS O DE ORDEN SUPERIOR.


.- APLICACIONES A FUNCIONES ECONÓMICAS.

.- DEFINICIÓN DE DERIVADA.

La derivada de una función con respecto a la variable independiente es la razón de cambio instantáneo de la función con respecto a la variable independiente. En otras palabras, la derivada es el límite del cociente de los incrementos de la función y lavariable independiente cuando el incremento de la variable tiende a cero.


En símbolos, sea y = f(x), entonces la derivada de “y” con respecto a “x” es:

dy Δy
y´ = = f´(x) = fx (x) = Lim
dx Δ→x Δx


Hay diferentes notaciones para denotar la derivada de “y” con respecto a “x” se haencontrado que:

dy Lim f(x + Δx) – f(x)
=
dx Δx→0


La derivada así definida es una medida de variación instantánea de la variable dependiente “y” con respecto a la variable independiente “x”.

Es importante observar que la existencia del límite, en todo caso, es una propiedad local de la función en el valor considerado de la variable independiente “x”. sila derivadas existe en un punto x = x0, se dice que la función es derivable en ese punto. Si la función es derivable en todos los puntos de un intervalo a ≤ x ≤ b, entonces se dice que la función es derivable en el intervalo.

3.2.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LSA DERIVADA.

Sea la curva AB de la ecuación y = f(x)
Y B SSiendo:
Q PS una secante que corta a la curva en P y Q
Δy T Θ el ángulo que forma la secante con el eje X
PT una tangente en el punto P
A Py = f(x) α el ángulo que forma la tangente con el eje X
R P(x,y)
α Θ Δx Q(x + Δx, y + Δy) se forma el triángulo en R.
0 M N X

y = f(x) = PM(1)
y + Δy = f(x +Δx) = QN (2)
Restando (1) de (2) queda:
Δy = f(x +Δx) – f(x) = QN – PM = QR

Dividiendo entre Δx se tiene: Si tomamos el límite cuando Δx→0
Δy f(x + Δx) – f(x) QR Δy
== ; Lim = Lim tg Θ = tg α
Δx Δx PR Δx→0 Δx Δx→0


La razón de los incrementos es el ángulo que forma la secante con el eje x

QR Δy Δy
Pero= tg RPQ → = tg Θ → = m
PR Δx Δx dy
→ = tg α
dx...