Derivadas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Ing. Eudal Avendaño G.

Derivadas de Orden Superior

d2y
dx 2
d3y
dx 3
d4y
dx 4
dny
dx n

= y ' ' derivada 2 do orden
= y ' ' ' derivada 3er orden
= y (4 ) derivada 4 to orden
= y (n ) derivada de orden a la n

Ejemplos :

1 5 3 4
x + x + 6x3 + x 2 + 5
5
4
4
y ' = x + 3 x 3 + 18 x 5 + 2 x

1.- y =

y ' ' = 4 x 3 + 9 x 2 + 36 x + 2y ' ' ' = 12 x 2 + 18 x + 36
y (4 ) = 2 x + 18
y (5 ) = 24

1

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2. Hallar la derivada segunda de la función f ( x ) =

x2 −1

(x

)

+1

2

2

Derivada primera
y' =
y' =
y' =

(

)

(

) (

)

2 x x 2 + 1 − 2 x 2 + 1 (2 x ) x 2 − 1
2

[
)(
(x

(

(x

2

)

+1

4

)]

) (
+ 1)2x x + 1 x + 1 − 2 x2 − 1
2

2

4

2 x(3 − x 2 )

(x

2

)

+1

3

Segunda derivada

(6 x − 2 x )
y' =
(x + 1)
(6 − 6 x )(x
y' ' =
3

3

2

2

2

)

(

)

(

+ 1 − 3 x 2 + 1 (2 x ) 6 x − 2 x 3
3

2

(x + 1)
(x + 1) [(6 − 6 x )(x + 1) − 6 x(6 x − 2 x )]
y' =
(x + 1)
6(x − 6 x + 1)
y' ' =
(x + 1)
2

2

2

2

2

4

)

6

2

36

2

2

4

2

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(

)

3.- Determine los valores de Ay B tales que la función y = Ax 2 Bx e x demuestre la
ecuación diferencial y ' '+ y '−2 y = xe x
1º paso : Determinar las derivadas de la función

(

y ' = e x Ax 2 + Bx + 2 Ax + B

)

y ' ' = e ( Ax + 4 Ax + Bx + 2 A + 2 B)
x

2

2º paso : Reemplazar enla ecuación diferencial

(

)

(

)

(

)

e x Ax 2 + 4 Ax + Bx + 2 A + 2 B + e x Ax 2 + 22 Ax + Bx + B − 2e x Ax 2 + Bx = xe x

3º paso : Después de simplificar la expresión se tiene:
6 A xe x + (2 A + 3B) e x = 1xe x + 0 e x

4º paso : Igualando los coefientes se forma un sistema de ecuaciones
para hallar A y B

6 A = 1

2 A + 3 B = 0

A=

1
6

B=−

1
9

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4.- Demostrar que la función y = sen ln x + cos ln x satisface la ecuación
x 2 y ' '+ xy'+ y = 0
1º paso : Determinar las derivadas de la función
cos ln x − sen ln x
x
− 2 cos ln x
y' ' =
x2
2º paso : Reemplazar en la ecuación diferencial
y' =

 − 2 cos ln x   cos ln x − sen ln x 
x2 
 + x
 + sen ln x + cos ln x= 0
x
x2
 



3º paso : Después de simplificar la expresión se tiene:

− 2 cos ln x + cos ln x − sen ln x + sen ln x + cos ln x = 0
0=0

4

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Derivada de Funciones Implícitas

Primer Método:

1.-Ejemplo Hallar la derivada primera de la función

x
= x 3 y 2 − ln ( x + y ) − 4
y
1º paso : Determinar lasderivadas de la función sin realizar ninguna
transformación
x3 + 5 y5 −

 y − xy' 
1 + y'
2 2
2
3 x 2 + 25 y 4 y '−

 y 2  = 3 x y + x 2 yy'− x + y


2º paso : escribiendo los terminaos que tienen y ' y factorizando
 1
x
1
1
4
3 
3 2
2
y' 

 x + y + y 2 − 25 y − 2 x y  = y + 3 x y − 3 x − x + y


3º paso : despejando y ' se tiene la derivada

1
1
+
x+ y yy' =
x
1
− 25 y 4 − 2 x 3 y +
+ 2
x+ y y
− 3x 2 + 3x 2 y 2 −

5

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Segundo Método:
f ( x, y ) = 0
Aplicando la diferencial de una función implícita

∂f
∂f
dx + dy = 0
∂x
∂y
La derivada de la función será:
∂f
dy
y' =
= − ∂x
∂f
dx
∂y
1º paso. Igualar a cero la función
x
x 3 − 5 y 5 − − x 3 y 2 + ln ( x + y ) + 4= 0
y

2º paso. Escribir como una función de dos variables
f ( x, y ) = x 3 − 25 y 5 −

x
− x 3 y 2 + ln ( x + y ) + 4
y

3º paso. Determinar las derivadas parciales
1
1
∂f
= 3x 2 − 3x 2 y 2 +
−
x+ y y
∂x
1
x
∂f
= −25 y 4 − 2 x 3 y +
+ 2
x+ y y
∂y

4º paso. Reemplazar las

∂f
∂f
y
en y’
∂x
∂y

1
1
−
x+ y y
y' = −
x
1
+ 2
− 25 y 4 − 2 x 3 y +
x+ y y...