Derivadas

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Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

3. Derivaci´n de funciones de una variable o 3.1. La derivada ´ ´ 3.1.4. INTERPRETACION GEOMETRICA Y F´ ISICA

Interpretaci´n geom´tricade la derivada o e La derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto a, que se conoce como a pendiente de f en a. y f (x) A  a
       

P 

s   

f x→a ⇓P →A ⇓ secante s → tangente t x ⇓

y

f (x) − f (a)

f (a) O
   

 

x−a x

            A   f (a)      a  O  

 t

f

x

Pendiente de la secante:

f (x)− f (a) x−a

−→−→−→ Pendiente de la tangente: lim

f (x) − f (a) = f (a) x→a x−a

Rectas tangente y normal a una curva Tangente: y − f (a) = f (a)(x − a) Normal: y − f (a) = −1 (x − a) (si f (a) =0) f (a)

Interpretaci´n f´ o ısica de la derivada. Aplicaciones Si x(t) es la posici´n de un m´vil en el instante de tiempo t, la velocidad media en el intervalo de tiempo o o [t, t + h] y lavelocidad instant´nea en el instante t son, respectivamente: a vm ([t, t + h]) = x(t + h) − x(t) h v(t) = lim x(t + h) − x(t) = x (t) h→0 h

La derivada de la velocidad es la aceleraci´n: a(t) = v (t) =x (t). o En general, la derivada de y = f (x) es el ritmo de cambio (velocidad) con que var´ la magnitud y respecto ıa de la magnitud x. Ejercicios 1. Halla las ecuaciones de las rectas tangente ynormal a la gr´fica de la funci´n y = a o 1 en x = −3. x+2

2. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva x2 + 2xy = y 3 en el punto (1, −1). 3. Halla todos los puntos con tangentevertical de la cardioide: x2 + y 2
3/2

=

x2 + y 2 + x.

4. Determina el ´ngulo que forman las curvas y = 1 − x2 e y = x3 + 5 en sus puntos de corte. a 5. Halla a, b y c para que sea m´ximoel orden de contacto de las funciones f (x) = x4 + 2x2 − x + 1 y a 2 + bx + c en x = 0. ¿Cu´l es dicho orden? g(x) = ax a 6. Un objeto se mueve sobre el eje de abscisas siendo x(t) = t3 − 12t2 +...