Derivadas

UNIDAD 10

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

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Problema 1
y = f (x )

5 3

–5

3

9

14

Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f' (3), f' (9) y f' (14). f ' (3) = 0; f' (9) = –3 ; f' (14) = 1 4

Di otros tres puntos en los que la derivada sea positiva. La derivada también es positiva en x = –4, x = –2, x = 0… Di otro punto en el que la derivada sea cero.La derivada también es cero en x = 11. Di otros dos puntos en los que la derivada sea negativa. La derivada también es negativa en x = 4, x = 5… Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que “si x ∈[a, b ], entonces f' (x) > 0”. Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x ∈ [–5, 2], entonces f ' (x) > 0.
Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

1

Problema 2 Continúaescribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (x). • En el intervalo (a, b), f (x) es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g (x) en (a, b). • La derivada de f en b es 0: f' (b) = 0. Y también es g(b) = 0. • En general: g (x) = f' (x) = 0 donde f (x) tiene tangente horizontal. g (x) = f' (x) > 0 donde f (x)es creciente. g (x) = f' (x) < 0 donde f (x) es decreciente.
a y = g (x) = f ' (x ) b y = f (x )

b a

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Problema 3 ¿Cuál es la derivada de cada cual? Justifica tus respuestas con argumentos análogos a los que utilizaste en el problema anterior. 1) B 2) A 3) C La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa dondela función decrece.

1

A

2

B

3

C

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2

Invéntate una gráfica sencilla y trata de esbozar la gráfica de su función derivada. Por ejemplo:
f (x) f ' (x)

2

2

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1. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1–x 1–x a) f (x) = b) f (x) = 1+x 1+x

√

c) f (x) = ln

1–x 1+x 1 – tg x 1 + tg xd) f (x) =

1 – tg x 1 + tg x

e) f (x) =

√

f ) f (x) = ln √e tg x h) f (x) = log (sen x · cos x)2 j ) f (x) = sen √x + 1 · cos √x – 1 l) f (x) = sen (3x5 – 2 √x + √2x ) n) f (x) = cos2 √x + (3 – x)2
3 3

g) f (x) = √3x + 1 i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x k) f (x) = arc sen √x m) f (x) = √sen x + x2 + 1

–2 a) f' (x) = –1 · (1 + x) – (1 – x) · 1 = –1 – x – 1 + x = (1 + x) 2 (1 + x)2 (1 + x) 2 b) Utilizamos el resultado obtenido en a): f' (x) = 2

√

–1 1 –2 · = 2 (1 + x) √ (1 – x)(1 + x) 3 1–x 1+x

c) Utilizamos el resultado obtenido en a): f' (x) = 1 –2 –2(1 + x) · = = –2 1 – x (1 + x) 2 (1 – x)(1 + x) 2 1 – x2 1+x

De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos: f' (x) = –1 1 – = –1 – x – 1 + x = –2 1–x 1+x 1 – x2 1 –x2 3

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

2 2 d) f' (x) = – (1 + tg x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg x) = (1 + tg x) 2 2 2 = (1 + tg x)[–1 – tg x – 1 + tg x] = – 2(1 + tg x) (1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2

De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a): f' (x) =
2 –2 –2 · D [tg x] = · (1 + tg 2 x) = – 2(1 + tg x) 2 2 (1 + tg x) 2 (1 + tg x) (1 + tg x)

e)Teniendo en cuenta lo obtenido en d): f' (x) = 2

√

2 – (1 + tg 2 x) 1 · – 2(1 + tg x) = 2 (1 + tg x) 1 – tg x √ (1 – tg x)(1 + tg x) 3 1 + tg x

También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b). tg x f) f (x) = ln √e tg x = ln e (tg x) / 2 = 2
2 f' (x) = 1 + tg x 2

g) f (x) = √3 x + 1 = 3 (x + 1) / 2 f' (x) = 3 (x + 1) / 2 · 1 ln 3 √3 x + 1 · ln 3 = · 2 2

h) f(x) = log (sen x · cos x)2 = 2 [log (sen x + log (cos x)] f' (x) = 2

[

2 2 cos x 1 –sen x 1 2 · + · = · cos x – sen x = sen x ln 10 cos x ln 10 ln 10 sen x · cos x

]

=

2 2 4 4 cos 2x 4 · cos x – sen x = · = ln 10 ln 10 sen 2x ln 10 · tg 2x 2sen x · cos x

De otra forma: f (x) = log (sen x · cos x) 2 = 2 log f' (x) = 2 ·

(

sen 2x 2

)

1 4 · cos 2x = ln 10 sen 2x ln 10...