Derivadas
Páginas: 8 (1873 palabras)
Publicado: 19 de junio de 2010
La Derivada Algebraica
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La Derivada Algebraica. Una alternativa educativa
JA Riestra junio 2006
1
´ ´ Antecedentes Hist orico-epistemologicos
La derivada algebraica aparece, por vez primera e impl´citamente, en el desarrollo del M´ ı e todo de Fermat para la determinaci´ n de m´ ximos y m´nimos. Concretamente, aparece en o a ı la ecuaci´ n final a resolver: la expresi´ n de laderivada igualada a cero. Con la “expresi´ n o o o de la derivada” nos referimos a la derivada de la expresi´ n algebraica a maximizar o minio mizar y por lo tanto se trata de la f´ rmula para la funci´ n derivada. Por segunda ocasi´ n, o o o aparece con Newton y, de hecho, por primera vez de manera expl´cita. Newton, uno de los ı dos coinventores del C´ lculo Diferencial e integral, la propuso comouna alternativa al uso a de infinitesimales y constituye la sustituci´ n de estos por incrementos finitos y la noci´ n o ´ o de l´mite (al cual tambi´ n le estaba dando la vuelta). Estrictamente hablando, la derivada ı e algebraica debe atribuirse a Sir Isaac Newton. En los tiempos de Lagrange, la derivada algebraica es la derivada corrientemente en uso y puesto que se trata de una nueva funci´ n oque proviene (i.e. se deriva) de cierta funci´ n original, Lagrange la bautiz´ como la (funo o ci´ n) derivada y hasta la prima con que se la corona, es debida a este gran matem´ tico. o a Examinaremos, por su importancia, estos tres momentos.
1.1 La derivada en el M´ todo de Fermat e
Antes de 1638 (Struik 1969, p. 223, Nota 1), Fermat describe y ejemplifica su m´ todo para e la determinaci´ nde m´ ximos y m´nimos en un escrito, del cual se presenta un extracto que o a ı ha sido tomado literalmente del que nos ofrece, en ingl´ s, Struik (1969, p. 223): e “La teor´a entera de m´ ximos y m´nimos presupone dos cantidades desconocidas y la ı a ı siguiente regla: Sea a cualquier inc´ gnita del problema (la cual tiene una, dos, o tres o dimensiones dependiendo de la formulaci´ n delproblema). Indiquemos el m´ ximo o a o m´nimo con a en t´ rminos que pueden ser de cualquier grado. Reemplazaremos ı e ahora la inc´ gnita original a por a C e y expresaremos as´ a la cantidad m´ xima o o ı a e m´nima en t´ rminos de a y e de cualquier grado. Habremos de adecuar [ad´galer], ı e para usar la terminolog´a de Diofanto, las dos expresiones de la cantidad m´ xima o ı a m´nima y eliminar sus t´rminos comunes. Resultar´ ahora que ambos lados contenı e a dr´ n t´ rminos en e o en sus potencias. Habremos de dividir todos los t´ rminos por a e e e, o por una potencia superior de e, de tal forma que e sea completamente removida de al menos uno de los t´ rminos. Suprimimos entonces todos los t´ rminos en los e e
La Derivada Algebraica
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cuales e o una de sus potencias todav´aaparezcan e igualaremos los otros; o, si una ı de sus expresiones se anula, habremos de igualar, lo que viene a ser lo mismo, los t´ rminos positivos y los negativos. La soluci´ n de esta ultima ecuaci´ n dar´ el valor e o ´ o a de a, el cual nos conducir´ al m´ ximo o al m´nimo, al emplear de nuevo la expresi´ n a a ı o original.” Fermat ilustra su m´ todo en un problema de m´ ximos y m´nimosplanteado en forma m´ s e a ı a bien aritm´ tica, pero que proviene de un ploblema isoperim´ trico cl´ sico: de entre todos e e a los rect´ ngulos de perim´ tro dado, hallar el de mayor area. Desde luego, uno puede tomar a e ´ significativamente el semiper´metro en lugar del per´metro, pues en el caso de rect´ ngulos, ı ı a como los lados opuestos son iguales, el semiper´metro est´ dado por la suma de doslados ı a adyacentes. Y todav´a mejor: el area del rect´ ngulo est´ dada por el producto de dichos ı ´ a a lados. As´ que el problema original se trascribe en su equivalente aritm´ tico, pero que ı e desde luego es naturalmente susceptible al tratamiento algebraico que Fermat le dar´ : a “He aqu´ un ejemplo: Dividir el segmento AC [Fig. 1] en E de tal forma que ı AE EC sea un m´ ximo. a A E...
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La Derivada Algebraica. Una alternativa educativa
JA Riestra junio 2006
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´ ´ Antecedentes Hist orico-epistemologicos
La derivada algebraica aparece, por vez primera e impl´citamente, en el desarrollo del M´ ı e todo de Fermat para la determinaci´ n de m´ ximos y m´nimos. Concretamente, aparece en o a ı la ecuaci´ n final a resolver: la expresi´ n de laderivada igualada a cero. Con la “expresi´ n o o o de la derivada” nos referimos a la derivada de la expresi´ n algebraica a maximizar o minio mizar y por lo tanto se trata de la f´ rmula para la funci´ n derivada. Por segunda ocasi´ n, o o o aparece con Newton y, de hecho, por primera vez de manera expl´cita. Newton, uno de los ı dos coinventores del C´ lculo Diferencial e integral, la propuso comouna alternativa al uso a de infinitesimales y constituye la sustituci´ n de estos por incrementos finitos y la noci´ n o ´ o de l´mite (al cual tambi´ n le estaba dando la vuelta). Estrictamente hablando, la derivada ı e algebraica debe atribuirse a Sir Isaac Newton. En los tiempos de Lagrange, la derivada algebraica es la derivada corrientemente en uso y puesto que se trata de una nueva funci´ n oque proviene (i.e. se deriva) de cierta funci´ n original, Lagrange la bautiz´ como la (funo o ci´ n) derivada y hasta la prima con que se la corona, es debida a este gran matem´ tico. o a Examinaremos, por su importancia, estos tres momentos.
1.1 La derivada en el M´ todo de Fermat e
Antes de 1638 (Struik 1969, p. 223, Nota 1), Fermat describe y ejemplifica su m´ todo para e la determinaci´ nde m´ ximos y m´nimos en un escrito, del cual se presenta un extracto que o a ı ha sido tomado literalmente del que nos ofrece, en ingl´ s, Struik (1969, p. 223): e “La teor´a entera de m´ ximos y m´nimos presupone dos cantidades desconocidas y la ı a ı siguiente regla: Sea a cualquier inc´ gnita del problema (la cual tiene una, dos, o tres o dimensiones dependiendo de la formulaci´ n delproblema). Indiquemos el m´ ximo o a o m´nimo con a en t´ rminos que pueden ser de cualquier grado. Reemplazaremos ı e ahora la inc´ gnita original a por a C e y expresaremos as´ a la cantidad m´ xima o o ı a e m´nima en t´ rminos de a y e de cualquier grado. Habremos de adecuar [ad´galer], ı e para usar la terminolog´a de Diofanto, las dos expresiones de la cantidad m´ xima o ı a m´nima y eliminar sus t´rminos comunes. Resultar´ ahora que ambos lados contenı e a dr´ n t´ rminos en e o en sus potencias. Habremos de dividir todos los t´ rminos por a e e e, o por una potencia superior de e, de tal forma que e sea completamente removida de al menos uno de los t´ rminos. Suprimimos entonces todos los t´ rminos en los e e
La Derivada Algebraica
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cuales e o una de sus potencias todav´aaparezcan e igualaremos los otros; o, si una ı de sus expresiones se anula, habremos de igualar, lo que viene a ser lo mismo, los t´ rminos positivos y los negativos. La soluci´ n de esta ultima ecuaci´ n dar´ el valor e o ´ o a de a, el cual nos conducir´ al m´ ximo o al m´nimo, al emplear de nuevo la expresi´ n a a ı o original.” Fermat ilustra su m´ todo en un problema de m´ ximos y m´nimosplanteado en forma m´ s e a ı a bien aritm´ tica, pero que proviene de un ploblema isoperim´ trico cl´ sico: de entre todos e e a los rect´ ngulos de perim´ tro dado, hallar el de mayor area. Desde luego, uno puede tomar a e ´ significativamente el semiper´metro en lugar del per´metro, pues en el caso de rect´ ngulos, ı ı a como los lados opuestos son iguales, el semiper´metro est´ dado por la suma de doslados ı a adyacentes. Y todav´a mejor: el area del rect´ ngulo est´ dada por el producto de dichos ı ´ a a lados. As´ que el problema original se trascribe en su equivalente aritm´ tico, pero que ı e desde luego es naturalmente susceptible al tratamiento algebraico que Fermat le dar´ : a “He aqu´ un ejemplo: Dividir el segmento AC [Fig. 1] en E de tal forma que ı AE EC sea un m´ ximo. a A E...
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