Derivadas
ıo-B´
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´tica
a
´
CALCULO I
ALGO SOBRE DERIVADAS
1.
Definici´n y algunas propiedades
o
Definici´n 1.1. Sea f : R → R una funci´n. Dados a ∈ R y h > 0, se define el promedio de f
o
o
en el intervalo [a, a + h], y se denota por vp (h), como la cantidad
f (a + h) − f (a)
.
(1.1)
h
Definici´n 1.2. Sea f : R → R unafunci´n. Dado a ∈ R, decimos que f es derivable en a
o
o
f (x) − f (a)
si l´
ım
existe. En tal caso, llamamos al valor del l´
ımite la derivada de f en a, y la
x→a
x−a
denotamos por f (a). Es decir,
vp (h) =
f (x) − f (a)
.
(1.2)
x→a
x−a
Observaci´n 1.1. Notar que si hacemos h = x − a en (1.2), se tiene que x → a implica que
o
h → 0, y (1.2) resulta, de manera equivalente,
f (a)= l´
ım
f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
lo cual equivale tambi´n a escribir, a partir de (1.1),
e
f (a) = l´
ım
f (a) = l´ vp (h).
ım
h→0
2
Ejemplo 1.1. Sea f (x) = x + 2x + 2, para cada x ∈ R. Calcular
a) El promedio de f en el intervalo [2, 5].
b) Si existe, la derivada de f en a = 3.
Soluci´n:
o
a) Aqu´ a = 2, h = 3. Luego, el valor promedio pedido es
ı,
vp (3) =
f (2+ 3) − f (2)
f (5) − f (2)
37 − 10
=
=
= 9.
3
3
3
b) Se calcula, para a = 3, el l´
ımite indicado en (1.2). Entonces,
f (x) − f (3)
x2 + 2x + 2 − (9 + 6 + 2)
= l´
ım
x→3
x→3
x−3
x−3
2
x + 2x − 15
= l´
ım
x→3
x−3
(x + 5)(x − 3)
= l´
ım
x→3
x−3
= l´ x + 5
ım
l´
ım
x→3
= 8.
As´ f es derivable en a = 3, y f (3) = 8.
ı,
Observaci´n 1.2. Notar que en laparte b) del ejemplo, y de manera m´s general, dado a ∈ R,
o
a
f es derivable en a porque
f (x) − f (a)
x2 + 2x + 2 − (a2 + 2a + 2)
= l´
ım
x→a
x→a
x−a
x−a
2
2
x − a + 2(x − a)
= l´
ım
x→a
x−a
(x − a)(x + a) + 2(x − a)
= l´
ım
x→a
x−a
(x − a)(x + a + 2)
= l´
ım
x→a
x−a
= l´ (x + a + 2)
ım
l´
ım
x→a
= 2a + 2.
As´ f (a) = 2a + 2. Como a es arbitrario, f esderivable en todos los puntos de R, y su derivada
ı,
es f (x) = 2x + 2. Esto permite definir, en general, f : A → R, donde A ⊆ R es el conjunto de
puntos en que el l´
ımite (1.2) existe. En este caso particular, f (x) = 2x + 2, para cada x ∈ R.
√
Ejemplo 1.2. Si f (x) = x, para cada x ≥ 0, determinar:
a) Si f es derivable en a = 0.
b) Si f es derivable en a > 0.
Soluci´n:
o
a) Dado que para a= 0
√
f (x) − f (0)
x
l´
ım
= l´
ım
x→0
x→0 x
x−0
1
= l´ √ = +∞,
ım
x→0
x
se sigue que f no es derivable en a = 0 (el l´
ımite no existe).
b) Si a > 0,
√ √
√
x− a
x+ a
√
·√
x−a
x+ a
x−a
√
√
= l´
ım
x→a (x − a)( x +
a)
1
√
= l´ √
ım
x→a
x+ a
1
= √ ,
2 a
f (x) − f (a)
l´
ım
= l´
ım
x→0
x→a
x−a
√
1
porque a > 0. As´ f es derivable en a, y f(a) = √ .
ı,
2 a
Observaci´n 1.3. Notar que para que f sea derivable en a, es necesario que a est´ en el
o
e
dominio de f . En la funci´n anterior, f no puede ser derivable en a < 0 porque a no est´ en el
o
a
1
dominio de f . Adem´s, en el caso anterior, f : ] 0, +∞ [ → R est´ definida por f (x) = √ ,
a
a
2 x
para cada x > 0, es decir, el dominio de f es m´s peque˜o que el dominiode f , el cual es
a
n
[0, +∞ [ .
d
[f (x)] a la derivada de f en x, es decir,
Observaci´n 1.4. Se denota tambi´n por
o
e
dx
d
[f (x)] = f (x).
dx
Definici´n 1.3. Una funci´n f : R → R se dice derivable en un subconjunto A de R si f es
o
o
derivable en todos los puntos de A.
Ejemplo 1.3. La funci´n del ejemplo anterior es derivable en A = ] 0, +∞ [.
o
Proposici´n 1.1. Si n es unentero positivo y f (x) = xn , entonces f (x) = nxn−1 , para cada
o
x ∈ R.
Demostraci´n. Dados x, a ∈ R, se tiene que
o
xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2 a + xn−3 a2 + . . . + x2 an−3 + xan−2 + an−1 ).
Por lo tanto,
f (x) − f (a)
x n − an
= l´
ım
x→a
x→a x − a
x−a
= l´ xn−1 + xn−2 a + xn−3 a2 + . . . + x2 an−3 + xan−2 + an−1
ım
l´
ım
x→a
n−1
=a
+ an−2 a + an−3 a2 + . . . +...
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