derivadas

CAP. 5]
20. Si y

DERIY ACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

= Xl -

Cuando

4x y

I

V2.

+ I, hallar dYldl cuando I ~
dy
dx
21
dx = 2(x - 2),
dl
(21" + 1)1/0'

X

=

y211

-

dy

\1'2, x = Y 5 Y lit =

=

33

4y2( v'S - 2)

dy
(jf

dy

4y2

Y5

dx

= dx . (jf =

= - 5 - (5 -

41(x - 2)
(211 + 1)1/1

2v'S).

+ 3x" - 8x + 2 tienederivadas de todos los 6rdenes para x
~ 3x" + 6x-8
y f '(a) = 3a" + 6a - 8
= 6x + 6
y f "(a) = 6a + 6

21. Demostrar que la funci6nf(x) = x 3

f'(x)
f"(x)
f"'(x)

=

6

= a

/,"(a) = 6y

Todas las derivadas de orden superior son identicamente nulas
22. Hallar las sucesivas derivadas de f(x) =

X'/3

para x =

o.

I'(x)

=

~ x1/' Y f
3

f"(x)

~

9:1/ 1 y f"(0) no existe.

'(0) = 0

Por tanto, para x = 0 solamente existe la primera derivada.
13. Dada la funci6nf(x) = -12_ = 2(1 - x)-t, calcular J (x).

-x

Tendremos
f'(x)

= 2(-1)(1 -

f"(x)

= 2(1 !)(-2)(1 -

X)-I (-1)
/,"(x) = 2(2 !)(-3)(1- x)-C(_I)

con 10 cual P~) (x) = 2 • n ! (1 -

X)-" = 2· 1 ! (I 2 • 2 ! (1 - x)-'
2' 3 ! (1 - x)-C

X)-" (-I) = 2(1 =
=

x)-'X)-(N +1).

Esto se puede demostrar por el m~todo de inducci6n, suponiendo que pi> (x)
Pl+l) (x) = -2' k! (k

+ 1)(I-x)-(l+')(-t) =

=

2' k ! (1 -

X)-(I:+l),

se verifica

+ I)!(I_x)-(l+l)

2 '(k

Problemas propuestos
24. Deducir la f6rmula 10 en el caso en que m = -lIn, siendo n un numero positivo, aplicando la f6rmula 9 para

! ( ).

~
hallar
En el caso en que m

~plq, siendo p y q enteros, ver Problema 4, Capitulo 6.

Hallar la derivada de las funciones de los Problemas 25-43.
25. y = :1:' + 5:1:' - 10:1:" + 6

Sol.

26. y = 3:1: 1/1 - :1: 1 / 1 +2:1: - 1/1

Sol. dy
d:l:

27. y = ~+...!..= !. :1:- 1 + 4:1:- 111
2:1:1 -IX
2

Sol. d:l: -

28. y

29.

= ~+2~

I(t)

2

6

= ,;t+\fi

30. y = (1- 5:1:)1
31. 1(:1:) = (3:1:...