Derivadas
Páginas: 3 (650 palabras)
Publicado: 8 de octubre de 2014
Recta secante
Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.
En la siguiente figura se ha representado gráficamente una recta L secante a unacurva:
Recta tangente
En la figura (a) se muestra un ejemplo de la grafica de una función continua f. Si P es un punto de la gráfica que tiene abscisa x, entonces las coordenadas de P son(x,f(x)). Sea Q un punto cercano que tiene la abscisa x+∆x. Entonces las coordenadas de Q son (x+∆x,f( x+∆x)). La recta PQ (recta secante) tiene pendiente (f( x+∆x)-f(x))/∆x . Cuando Q se aproxima a P a lolargo de la gráfica, las rectas PQ se acercan más y más a la recta tangente T de la gráfica en P (fig. (b)).
La recta tangente a la gráfica de la función f en el punto P=(x,f(x)), es la rectaque pasa por P que tiene una pendiente igual a la derivada de f en x.
Recta normal
La recta normal a una curva en uno de sus puntos (x_0,y_0 ) es la recta que pasa por ese punto y esperpendicular a la tangente en ese mismo punto. Recuérdese que una perpendicular a una recta con pendiente m diferente de cero tiene pendiente -1/m. Por tanto, si m≠0 es la pendiente de la tangente, entoncesy-y_0=-(1/m)(x_0-x_0 ) es una ecuación punto-pendiente de la recta normal. Si la tangente es horizontal, entonces la normal es vertical y tiene la ecuación 〖x=x〗_0. Si la tangente es vertical, entoncesla normal es horizontal y tiene la ecuación y=y_0.
Derivada
Sea f una función que está definida al menos en algún intervalo abierto que contiene el número x. Si existe el
lim┬(∆x→0)〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗
se denomina derivada de f en x y se denota f^' (x). La pendiente de la gráfica de la función f en (x,f(x)) es la derivada de f en x.
Ejemplo 1.
y=6x-1
Solución:
〖f^' (x)=lim┬(∆x→0)〗〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗
f^' (x)=lim┬(∆x→0) (6(x+∆x)-1-(6x-1))/∆x
f^' (x)=lim┬(∆x→0) (6x+6∆x-1-6x+1)/∆x=lim┬(∆x→0) 6∆x/∆x
f^' (x)=6
Ejemplo 2.
y=1/x
Solución:
y^'=lim┬(h→0)〖(f( x+h)-f(x))/h〗...
Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.
En la siguiente figura se ha representado gráficamente una recta L secante a unacurva:
Recta tangente
En la figura (a) se muestra un ejemplo de la grafica de una función continua f. Si P es un punto de la gráfica que tiene abscisa x, entonces las coordenadas de P son(x,f(x)). Sea Q un punto cercano que tiene la abscisa x+∆x. Entonces las coordenadas de Q son (x+∆x,f( x+∆x)). La recta PQ (recta secante) tiene pendiente (f( x+∆x)-f(x))/∆x . Cuando Q se aproxima a P a lolargo de la gráfica, las rectas PQ se acercan más y más a la recta tangente T de la gráfica en P (fig. (b)).
La recta tangente a la gráfica de la función f en el punto P=(x,f(x)), es la rectaque pasa por P que tiene una pendiente igual a la derivada de f en x.
Recta normal
La recta normal a una curva en uno de sus puntos (x_0,y_0 ) es la recta que pasa por ese punto y esperpendicular a la tangente en ese mismo punto. Recuérdese que una perpendicular a una recta con pendiente m diferente de cero tiene pendiente -1/m. Por tanto, si m≠0 es la pendiente de la tangente, entoncesy-y_0=-(1/m)(x_0-x_0 ) es una ecuación punto-pendiente de la recta normal. Si la tangente es horizontal, entonces la normal es vertical y tiene la ecuación 〖x=x〗_0. Si la tangente es vertical, entoncesla normal es horizontal y tiene la ecuación y=y_0.
Derivada
Sea f una función que está definida al menos en algún intervalo abierto que contiene el número x. Si existe el
lim┬(∆x→0)〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗
se denomina derivada de f en x y se denota f^' (x). La pendiente de la gráfica de la función f en (x,f(x)) es la derivada de f en x.
Ejemplo 1.
y=6x-1
Solución:
〖f^' (x)=lim┬(∆x→0)〗〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗
f^' (x)=lim┬(∆x→0) (6(x+∆x)-1-(6x-1))/∆x
f^' (x)=lim┬(∆x→0) (6x+6∆x-1-6x+1)/∆x=lim┬(∆x→0) 6∆x/∆x
f^' (x)=6
Ejemplo 2.
y=1/x
Solución:
y^'=lim┬(h→0)〖(f( x+h)-f(x))/h〗...
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