derivadas

Derivadas parciales

Definición de derivada parcial
Las funciones de varias variables y = f(x1, x2,..., xn)  pueden también derivarse; recordemos que la derivada de una función de una variable y=f(x)  se define como el límite de un cociente:
f'(x) = lim h0(f(x + h) - f(x)) / h.
Para el caso de funciones de n variables la definición formal es idéntica, pero ahora tenemos que cambiar losvalores reales x por vectores x = (x1, x2, ..., xn) y el incremento h por el vector incremento h = (h1, h2, ..., hn), donde usamos la negrita para destacar que se trata de vectores. Entonces tomamos el límite sólo para uno de los valores i = 1, 2,..., n, dando un valor no nulo del incremento  sólo para ese valor. Por ejemplo, para el valor i=1 tomaremos h = (h, 0,...,0) y la derivada respecto a laprimera variable  será
f'x(x) = lim h 0 (f(x +  h) - f(x)) / h  
= lim h 0 (f(x1 - h, x2, ..., xn ) - f(x1, x2, ..., xn ))  /  h

o sea que las variables x2, ..., xn se suponen constantes y sólo derivamos para x1 que es la única variable que usamos en el límite. A esta derivada que sólo tiene en cuenta la variable xk del vector x se le llama derivada parcial de f(x) respecto de la variable xk.Ejemplo
La función de dos variables f(x,y) = x² - y² tiene por derivada parcial respecto de la primera variable x:
f 1 '(x,y) = lim h(f(x - h,y) - f(x,y)) / h
= lim h(((x-h)² - y²) - (x² - y²)) / h
= lim h(x² + h² - 2xh - y² - x² + y²) / h
= lim h(h - 2x )
=2x.


Cálculo práctico de derivadas parciales
Para calcular derivadas parciales podemos usar las reglas que para lasderivadas ordinarias, pero teniendo en cuenta que sólo derivamos para una de las variables, siendo las demás consideradas como valores constantes.

Ejemplos de cálculo
Si f(x,y) = sin(x)·cos(y), entonces f'x(x,y) = sin'(x)·cos(y) = cos(x)·cos(y), mientras quef'y(x,y) = sin(x)·cos'(y) = -sin(x)·sin(y). Observar que sólo derivamos respecto de una variable, mientras que la otra queda como unaconstante multiplicativa.
Si f(x,y) = 2x² + x - y + y³, entonces f'x(x,y) = (2x² + x)' = 4x + 1, mientras que f'y(x,y) = ( - y + y³ )' = -1 + 3y². Observar que sólo se deriva la variable que aparece en la derivada parcial, mientras que la otra variable, al ser como una constante que se suma, su derivada vale cero.
Si f(x,y) = x³y², entonces f'x(x,y) = (x³)'·y² = 3x²·y², mientras que f'y(x,y) = x³·(y²)'= x³·2y.

Notaciones para las derivadas parciales 
Ademas de la notación f'xk (x1, x2, ..., xn) son muy comunes las notaciones Dkf (x1, x2, ..., xn), o bien  Dkf (x)  y también ∂f/∂xk , conocida por notación de Legendre o de Jacobi.

Derivadas parciales de orden superior
En las funciones de una variable, se puede obtener la derivada de la derivada f'(x) de una función f(x), obteniendo lasegunda derivada f''(x). Idénticamente procedemos con las derivadas parciales, resultando las derivadas de segundo orden, y de órdenes superiores. Veamos ejemplos y notaciones.
Si f(x,y) = sin(x)·cos(y) entonces f'' x(x,y) = sin''(x)·cos(y) = -sin(x)·cos(y)
Si f(x,y) = 2x² + x - y + y³, entonces D²xf(x,y) = ( 2x² + x)'' = 4
Si f(x,y) = x³y², entonces ∂²f(x,y)/∂x  = (x³)''y² = 6xy²
Si f(x,y) =x³y², entonces ∂³f(x,y)/∂x  = (x³)'''y² = 6y²



Derivadas cruzadas 
Las derivadas parciales de orden superior pueden ser derivadas cruzadas: la primera derivada la hacemos respecto a una de las variables, y la segunda derivada respecto a una variable diferente; en éste caso es mejor utilizar la notación  Dkf (x) o la de Jacobi. Algunos ejemplos con estas notaciones:
Si f(x,y) =sin(x)·cos(y) entonces D xy(x,y) = D x(D yf(x,y) ) = D x( -sin(x)·sin(y) ) = -cos(x)·sin(y)
Si f(x,y) = 2x² + x - y + y³, entonces ∂²f(x,y)/(∂x∂y) =  ∂/∂y ( ∂f(x,y)/∂x) =  ∂/∂y ( 4x + 1) = 0.

El teorema de Schwartz afirma que si las derivadas parciales cruzadas son contínuas entonces el orden en el que derivamos no importa:
∂²f(x,y)/(∂x∂y) =   ∂/∂y ( ∂f(x,y)/∂x) = ∂/∂x ( ∂f(x,y)/∂y) = ∂²f(x,y)/(∂y∂x)...