Derivadas

ING. ELESBAN TOLEDO GONZALEZ

MATEMÁTICAS APLICADAS

DERIVADAS

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Derivadas. Aplicaciones de la derivada Representación de curvas Funciones derivables en un intervalo Ejercicios.

Ejercicios resueltos y propuestos.

CBTis 240 PUERTO ESCONDIDO OAXACA

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Definición de derivada. La derivada de unafunción f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

f ′(a) = lím
h →0

f ( a + h) − f ( a ) h

A la derivada de una función en un punto se le llama también tasa de variación instantánea. Interpretación geométrica de la derivada.

y = f (x)
f(a+h) P

s

f (a + h) − f (a )
α A f(a) h a a+h β B

t

La recta secante s, corta a la curva y = f(x), enlos puntos A y P. Su pendiente es: tgα =

PB f (a + h) − f (a) = AB h

Si el punto P se va acercando al punto A, hasta confundirse con él, la recta secante s, se transforma en la recta tangente t y el ángulo α se transforma en el ángulo β, es decir, Cuando P → A, que es equivalente a decir que h→0, el límite de la recta secante s, es la recta tangente t Pero cuando α → β,

tgα → tgβ que esequivalente a lím tgα = tgβ
h →0

Por tanto, tgβ = pendiente de t = lim tgα = lím
h→0 h →0

f ( a + h) − f ( a ) = f ′(a ) h

Queda probado que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto. Derivadas laterales. Las definimos por las siguientes fórmulas:
+ Derivada por la derecha: f ′(a ) = lím+ h →0

f ( a + h) − f ( a ) h

Derivada por laizquierda:

f ′(a − ) = lím−
h →0

f ( a + h) − f ( a ) h

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Para que una función sea derivable en un punto tienen que existir las derivadas laterales y estas ser iguales. Ejemplo 1: Halla la derivada de la función f ( x) = Podemos seguir los siguientes pasos: 1º. 2º. 3º.

2 enel punto x = 3 x +1

4º.

2 2 1 = = ; 3 +1 4 2 2 2 f (3 + h) = = 3 + h +1 4 + h 2 1 4 − 1.(4 + h) −h f (3 + h) − f (3) = − = = 4+h 2 2(4 + h) 2(4 + h) −h 2( 4 + h ) −h −1 −1 lím = lím = lím = h →0 h → 0 2h( 4 + h) h → 0 2( 4 + h ) h 8 f (3) =
2

Ejemplo 2: Dada la función f ( x) = x , halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2. La pendiente de la recta tangente esel valor de la derivada:

m = f ′( 2) = lím
h→0

f ( 2 + h ) − f ( 2) ( 2 + h) 2 − 2 2 4h + h 2 = lím = lím = lím(4 + h) = 4 h→0 h→0 h→0 h h h

Las coordenadas del punto son: Para x = 2, f(2) = 4 luego P(2, 4) Aplicando la fórmula de la ecuación punto-pendiente: y − y 0 = m( x − x0 ) ⇒ y − 4 = 4( x − 2)

Función derivada. La derivada de una función en un punto de abscisa x = a, asigna adicho punto un número real, que es el valor de la derivada en dicho punto. También podemos considerar una función que asocie a cada punto x, el valor de la derivada en ese punto. Recibe el nombre de función derivada o simplemente derivada.

f ′( x) = lím
h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

Derivación y continuidad. Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto. Si la funciónes continua no tiene por qué ser derivable. Ejemplo 3

f ( x) = x − 2

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Veamos que esta función es continua en x = 2:

⎧ x − 2 si x − 2 ≥ 0, es decir, si x ≥ 2 f ( x) = x − 2 = ⎨ ⎩− x + 2 si x − 2 < 0, es decir, si x < 2 lim− f ( x) = lim− (− x + 2) = 0
x→2 x→2 x→2 x→2+

limf ( x) = lim+ ( x − 2) = 0

Los límites laterales son iguales. Y como f (2) = 2 − 2 = 0 , la función es continua en x = 2 Sin embargo no es derivable en dicho punto como vamos a ver:

f ′(2 − ) = lim−
h →0

− ( 2 + h) + 2 − 0 f ( 2 + h ) − f ( 2) = lim− = −1 h →0 h h

f ′(2 + ) = lim +
h →0

( 2 + h) − 2 − 0 f ( 2 + h ) − f ( 2) = lim =1 h →0 + h h

Existen las derivadas laterales...