Derivadas

Universidad del B´ıo-B´ıo
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´atica
´
CALCULO
I
ALGO SOBRE DERIVADAS

1.

Definici´
on y algunas propiedades

Definici´
on 1.1. Sea f : R → R una funci´on. Dados a ∈ R y h > 0, se define el promedio de f
en el intervalo [a, a + h], y se denota por vp (h), como la cantidad
f (a + h) − f (a)
.
(1.1)
h
Definici´
on 1.2. Sea f : R → R una funci´on. Dado a ∈ R,decimos que f es derivable en a
f (x) − f (a)
si l´ım
existe. En tal caso, llamamos al valor del l´ımite la derivada de f en a, y la
x→a
x−a
denotamos por f (a). Es decir,
vp (h) =

f (x) − f (a)
.
(1.2)
x→a
x−a
Observaci´
on 1.1. Notar que si hacemos h = x − a en (1.2), se tiene que x → a implica que
h → 0, y (1.2) resulta, de manera equivalente,
f (a) = l´ım

f (a + h) − f (a)
,
h→0
h
lo cualequivale tambi´en a escribir, a partir de (1.1),
f (a) = l´ım

f (a) = l´ım vp (h).
h→0

2

Ejemplo 1.1. Sea f (x) = x + 2x + 2, para cada x ∈ R. Calcular
a) El promedio de f en el intervalo [2, 5].
b) Si existe, la derivada de f en a = 3.
Soluci´
on:
a) Aqu´ı, a = 2, h = 3. Luego, el valor promedio pedido es
vp (3) =

f (2 + 3) − f (2)
f (5) − f (2)
37 − 10
=
=
= 9.
3
3
3

b) Se calcula, para a = 3,el l´ımite indicado en (1.2). Entonces,
f (x) − f (3)
x2 + 2x + 2 − (9 + 6 + 2)
= l´ım
x→3
x→3
x−3
x−3
2
x + 2x − 15
= l´ım
x→3
x−3
(x + 5)(x − 3)
= l´ım
x→3
x−3
= l´ım x + 5
l´ım

x→3

= 8.

As´ı, f es derivable en a = 3, y f (3) = 8.
Observaci´
on 1.2. Notar que en la parte b) del ejemplo, y de manera m´as general, dado a ∈ R,
f es derivable en a porque
f (x) − f (a)
x2 + 2x + 2 − (a2 + 2a +2)
= l´ım
x→a
x→a
x−a
x−a
2
2
x − a + 2(x − a)
= l´ım
x→a
x−a
(x − a)(x + a) + 2(x − a)
= l´ım
x→a
x−a
(x − a)(x + a + 2)
= l´ım
x→a
x−a
= l´ım (x + a + 2)
l´ım

x→a

= 2a + 2.
As´ı, f (a) = 2a + 2. Como a es arbitrario, f es derivable en todos los puntos de R, y su derivada
es f (x) = 2x + 2. Esto permite definir, en general, f : A → R, donde A ⊆ R es el conjunto de
puntos en que el l´ımite (1.2)existe. En este caso particular, f (x) = 2x + 2, para cada x ∈ R.
√
Ejemplo 1.2. Si f (x) = x, para cada x ≥ 0, determinar:
a) Si f es derivable en a = 0.
b) Si f es derivable en a > 0.
Soluci´
on:
a) Dado que para a = 0
√
f (x) − f (0)
x
l´ım
= l´ım
x→0
x→0 x
x−0
1
= l´ım √ = +∞,
x→0
x
se sigue que f no es derivable en a = 0 (el l´ımite no existe).
b) Si a > 0,
√ √
√
x− a
x+ a
√
·√
x−a
x+ a
x−a√
√
= l´ım
x→a (x − a)( x +
a)
1
√
= l´ım √
x→a
x+ a
1
= √ ,
2 a

f (x) − f (a)
l´ım
= l´ım
x→0
x→a
x−a

√

1
porque a > 0. As´ı, f es derivable en a, y f (a) = √ .
2 a

Observaci´
on 1.3. Notar que para que f sea derivable en a, es necesario que a est´e en el
dominio de f . En la funci´on anterior, f no puede ser derivable en a < 0 porque a no est´a en el
1
dominio de f . Adem´as, en el casoanterior, f : ] 0, +∞ [ → R est´a definida por f (x) = √ ,
2 x
para cada x > 0, es decir, el dominio de f es m´as peque˜
no que el dominio de f , el cual es
[0, +∞ [ .
d
[f (x)] a la derivada de f en x, es decir,
Observaci´
on 1.4. Se denota tambi´en por
dx
d
[f (x)] = f (x).
dx
Definici´
on 1.3. Una funci´on f : R → R se dice derivable en un subconjunto A de R si f es
derivable en todos los puntos deA.
Ejemplo 1.3. La funci´on del ejemplo anterior es derivable en A = ] 0, +∞ [.
Proposici´
on 1.1. Si n es un entero positivo y f (x) = xn , entonces f (x) = nxn−1 , para cada
x ∈ R.
Demostraci´
on. Dados x, a ∈ R, se tiene que
xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2 a + xn−3 a2 + . . . + x2 an−3 + xan−2 + an−1 ).
Por lo tanto,
f (x) − f (a)
x n − an
= l´ım
x→a
x→a x − a
x−a
= l´ım xn−1 + xn−2 a + xn−3 a2 +. . . + x2 an−3 + xan−2 + an−1
l´ım

x→a
n−1

=a

+ an−2 a + an−3 a2 + . . . + a2 an−3 + aan−2 + an−1
n t´
erminos (n veces an−1 )

= nan−1 ,
luego, f es derivable en a, y f (a) = nan−1 .
Proposici´
on 1.2. Si f : A → R y g : A → R son funciones derivables en A, entonces, dado
λ ∈ R,
a)

d
d
d
[f (x) + g(x)] =
[f (x)] +
[g(x)].
dx
dx
dx

b)

d
d
[λf (x)] = λ [f (x)].
dx
dx

Ejemplo 1.4. Si f...