Dervadas trascendentes

DERIVACIÒN DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

Funciones Exponencial y logarítmica.

Ida y Vuelta

Analicemos las siguientes situaciones:
Al pararse una persona ante un espejo, ¿Qué se espera que suceda?
Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba ¿Qué se espera que suceda?
Al hacer un préstamo en dinero a un amigo ¿Qué se espera que suceda?
Al jugar un partido de tenis y lanzar lapelota al adversario ¿Qué se espera que suceda?

Cuando dos funciones son inversas, sucede algo similar, a las actividades anteriores, si ésta cumple con ciertas condiciones:

La funciòn “g” se llama función inversa de la función “f” y se denota por , como vemos la función “g” invierte la correspondencia dada por la función “f”, esto siempre y cuando “f “ séa una función uno a uno (biunívoca).Recordemos tambien que si una función continua es siempre creciente o siempre decreciente, indica que tiene función inversa.

Una función expònencial está definida por y = , en base ala definición de logaritmo natural se transforma en x = ln y . las funciones y ln y tiene el comportamiento de funciones inversas, si permutamos “x” y “y” de la ecuación resulta , que se define como funciónlogaritmica.
Gráficamente las funciones exponencial f(x) = y logaritmica quedan de la siguiente forma:

Análogamente si la función exponencial tiene como base a = 10 en lugar de “e”, basándose en la definición de logaritmo común, se transforma en x = log y . las funciones a x y log y , tienen el comportamiento de funciones inversas y si permutamos “ x “ y “ y ” de la ecuación x = log “ y “ ,resulta y = log x , que se define como una función logarítmica su gráfica es idéntica a la anterior haciendo notar que en lugar de f(x) = ex queda f(x) = ax y en lugar de g(x) = ln x queda .
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES.

Partiendo de la fórmula para derivar la función ln V, deduciremos las demás fórmulas:

EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS.

1) Calcular la derivada dela siguiente función logarítmica

Solución por fórmula:

NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la función anterior aplicando propiedades de los logaritmos.

2) Calcular la derivada de la siguiente función exponencial

Solución aplicando propiedades de los logaritmos:



NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la función anterior aplicando fórmulas.

DERIVA LASSIGUIENTES FUNCIONES:


Solución:

HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES.

1.

2.

3.

4.

5.
6.

7.

8.

9.

10.

FÓRMULAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

DEMOSTRACION DE FORMULAS TRASCENDENTES

=

=

=

=

=

=

1). Calcular la derivada de la siguiente función trigonométrica directa

Solución:

2). Calcular la derivada de la siguientefunción trigonométrica inversa

Solución:

ACTIVIDAD PÀRA LOS ALUMNOS.

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5).

6).

7).

8).

9).

10).

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

SUBE Y BAJA

En la gráfica tenemos el perfil de una pirámide de base cuadrada, la cual se va a escalar, sabiendo que cada escalón tiene conbase 1.00 m y como altura 50 cm. Si una persona hace el recorrido iniciando en el punto “A” y terminando en el punto “J”, ¿Cuál es el avance y la altura respectiva en cada uno de los puntos intermedios B, C, D, E, F, G, H, e I?

¿A qué avance corresponde el punto donde la persona está a la altura máxima?.

¿A qué avance corresponde el punto donde la persona empieza a bajar?.

Cuando lapersona ha avanzado 12.5 mts. ¿A qué altura se encuentra?.

Cuando la persona ha avanzado 18.5 mts. ¿A qué altura se encuentra?.

Ahora analizaremos el comportamiento de un punto a través de la gráfica de una función; como veremos, distintas y diversas funciones tienen un recorrido semejante al de la persona subiendo y bajando la pirámide.
Analicemos el comportamiento de las funciones:

y = x...