Desigualdad De Clausius

DESIGUALDAD DE CLAUSIUS

Esta relación, planteada por Rudolf CLAUSIUS, nos indica lo que sucede, siempre que un sistema evolucione cíclicamente y, para algunos autores, es otra forma de enunciar el segundo principio de la termodinámica en este tipo de procesos.
Enunciado general

Para todo proceso cíclico

cumpliéndose la desigualdad si el proceso es irreversible, y la igualdad si esreversible.

Si el sistema evoluciona variando su temperatura en varios pasos, a base de ponerse en contacto con distintos ambientes a diferentes temperaturas, intercambiará calor con cada uno de ellos, y ya no podremos hablar simplemente de Qc y Qf, sino que tendremos una serie de calores Q1, Q2, Q3,… que entran en el sistema desde focos a temperaturas T1, T2, T3,….
En este caso, demostraremos másadelante que la desigualdad correspondiente, conocida como desigualdad de Clausius, es

donde de nuevo, la igualdad corresponde a ciclos reversibles y la desigualdad a irreversibles.
Podemos generalizar aún más este resultado: supongamos que la temperatura del ambiente no cambia a saltos, sino que va variando gradualmente de forma continua. Podemos modelar esto como un conjunto infinito debaños térmicos, situados a temperaturas que varían en una cantidad diferencial (por ejemplo, que en un momento está en contacto con un baño a 25.00°C y posteriormente con uno a temperatura 24.99°C).
La cantidad de calor que entrará en el sistema desde cada uno de estos baños será una cantidad diferencial dQ. La razón es que si el punto por el que entra el calor ha alcanzado el equilibrio con un baño a25.00°C y posteriormente se pone en contacto con uno a temperatura 24.99°C, la cantidad de calor que fluirá como consecuencia de la diferencia de temperaturas será minúscula.
La suma de una cantidad infinita de pasos diferenciales no es más que una integral, por lo que la desigualdad de Clausius se escribe para un proceso continuo como

donde la igualdad corresponde a ciclos reversibles y ladesigualdad a irreversibles.
3.2 Análisis de la desigualdad
Para fijar el significado de cada símbolo de la expresión,

precisemos cada uno por separado.
| La integral con el circulito se denomina “integral cerrada” y quiere decir que la suma se efectúa sobre una curva que se cierra sobre sí misma |
dQ | Representa la cantidad de calor diferencial que entra en el sistema desde un focosituado a la temperatura T. A lo largo de un ciclo habrá ocasiones en que su valor sea positivo y veces en que será negativo, según el sistema absorba o ceda calor. |
T | Es la temperatura del foco que cede el calor. No es la temperatura del sistema. Es más, para empezar la temperatura del sistema probablemente ni estará definida. En algunos puntos tendrá un valor y en otros será distinto. En elcaso de que sí tenga un valor definido, , este valor será menor que el exterior cuando el calor entra (ya que si no, no entraría), y será mayor que el exterior cuando el calor sale. Solo en un proceso reversible  se diferenciará una cantidad infinitesimal de T (ya que si no, no sería reversible). |
| La desigualdad de Clausius no nos dice cuánto vale la integral, en general. Solo nos informa de susigno. Pero al hacerlo nos proporciona un criterio para clasificar los posibles procesos: * Si la integral es negativa: el proceso es irreversible. * Si la integral es nula: el proceso es reversible. * Si la integral es positiva: el proceso es imposible. |

Demostración del caso general

Para demostrar la desigualdad de Clausius partiendo del enunciado de Kelvin-Planck debemos suponerun sistema que realiza un proceso cíclico. En un paso diferencial de dicho ciclo en el sistema entrará una cierta cantidad de calor dQ y sobre él se realizará un trabajo dW, de forma que, de acuerdo con el Primer Principio de la termodinámica

Hay que señalar que esto no presupone que a lo largo de todo el ciclo dQ vaya a tener siempre el mismo signo. De hecho, en un ciclo real habrá pasos en...