determinación de una matriz

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

ALGEBRA
TEMA: DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

CONTENIDOS
•

PAG.

05
07

3 - REGLA DE CHIO

08
11

4 - DETERMINANTE Y MATRICES INVERTIBLES

12

Ejercicios Propuestos
•

2 – DESARROLLO POR COFACTORES O LAPLACE

Ejercicios Propuestos
•

04

Ejercicios Propuestos
•

02

Ejercicios Propuestos
•

1 - DETERMINANTES.DEFINICION PROPIEDADES

12

RESULTADOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS

14

1

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

2

1 - DETERMINANTES. DEFINICION. PROPIEDADES
El determinante es una función f: Rnxn ---- R, que le asigna a una matriz
cuadrada un número.
Así por ejemplo en el caso de una matriz de 2 x 2, el determinante se define de
la siguiente manera:
 a11 a12 
 = a11a22 − a21a12a
 21 a22 
Para el caso de una matriz de 3 x 3, el determinante se puede calcular de la
siguiente manera:
a11 a12
a21 a22
a31 a32

a13
a21 = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a13a22 a31 − a23a32 a11 − a33a12 a21
a33

EJEMPLO Nº 1.1: Calcular el determinante de la matriz A
 −1 5 3


A= 0
2 2
 3 − 4 2


El determinante de A, calculado por Regla de Sarrus es:
−15 3
0 2 2 = (−1).2.2 + 0.4.3 + 3.5.2 − 3.2.3 − 2.4.(−1) − 2.5.0 = −4 + 0 + 30 − 18 + 8 = 16
3 4 2
−1 5 3
0 2 2

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Sea A una matriz de n x n, y c un escalar distinto de cero. Entonces:
1)

Si una matriz B se obtiene de una matriz A multiplicando los elementos de

una fila (columna) por c, entonces det (B) = c. det (A)
2)

Si una matriz B se obtiene deintercambiar dos filas (columnas) de A,

entonces det (B) = -det (A)

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3)

TEMA: DETERMINANTES

3

Si una matriz se obtiene de una matriz A sumando un múltiplo de una fila

(Columna) a otra fila (columna), entonces det (B) = det (A)
4)

Si dos filas (columnas) de una matriz A son iguales, entonces det (A) = 0

5)

Si todos los elementos de una fila(columna) de una matriz A son iguales a

cero, entonces det (A) = 0
6)

Si una fila (columna) de una matriz es combinación lineal de las otras,

entonces det (A) = 0
7)

El determinante de la matriz identidad es igual a 1.

8)

El determinante de una matriz triangular inferior o triangular superior es

igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
9)

El determinante deuna matriz A es igual al determinante de la traspuesta

de A. (At)
10) El determinante del producto de matrices, es igual al producto de los
determinantes. Det (A.B) = det (A).det (B)
Nota: observar que las tres primeras propiedades están referidas a las
operaciones elementales de filas que se pueden realizar sobre una matriz, y
como las mismas modifican o no el determinante. Por otrolado, las
propiedades 3 a 6 indican que si las filas (o columnas) de una matriz son
Linealmente Dependientes, entonces su determinante es igual a cero.
EJEMPLO Nº 1.2: Calcular el determinante de las siguientes matrices
aplicando propiedades de los determinantes:
2 0 1
0 0 − 2 = 0 (Por ser nulos los elementos de la columna 2º
0 0 3
1 − 4 −1
0 2
3
0 0
3
0 0
0

1
2
= 1.2.3.4 = 24 (Por3
4

ser

una

matriz

multiplican los elementos de la diagonal principal)

triangular

superior

se

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TEMA: DETERMINANTES

4

1 1 2
2 1 4 = 0 (Por ser la tercera columna proporcional a la primera.
−2 1 −4

EJERCICIOS PROPUESTOS – PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1)

Calcular

el

determinante

de

las

siguientes

matricesaplicando

propiedades:
 − 5 0 0


A =  0 −1 0
 0
0 3



0
0
0
 0


 1 0 − 2


 − 2 − 1 − 3 − 1
B =  1 1 − 2 C = 
2
5
3
1
− 2 2 4 




 3
4
3
1



 5 1 − 1


D = 0 2 2 
0 0 1 



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TEMA: DETERMINANTES

5

2 - DESARROLLO POR COFACTORES (LAPLACE)
Sea A una matriz n x n, se denomina menor...