DETERMINANTES AGOS DIC 2014

Álgebra Lineal I

DETERMINANTES
Agosto – Diciembre 2014

Mtro.: José Andueza Pech
Br.: José Guadalupe Suárez Huchin

Determinantes Álgebra Lineal I

OBJETIVO:
• Definir la función Determinante
• Manejar Permutaciones para calcular el
determinante de una matriz
• Describir las principales propiedades de la función D.

Determinantes Álgebra Lineal I

DEFINICIÓN: Sea 𝕂 un campo. Un determinante esuna función
𝑑𝑒𝑡: 𝕂𝑛𝑥𝑛 ⟶ 𝕂

que asigna un escalar a una matriz (cuadrada) y además cumple:

1) det 𝐴∗1 , … , 𝐴∗𝑖 , … , 𝐴∗𝑗 , … , 𝐴∗𝑛 = 0, si 𝐴∗𝑖 = 𝐴∗𝑗 , para 𝑖 ≠ 𝑗
2) det 𝐴∗1 , … , 𝑘𝐴∗𝑖 , … , 𝐴∗𝑛 = 𝑘 det 𝐴∗1 , … , 𝐴∗𝑖 , … , 𝐴∗𝑛 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑘𝜖𝕂.

3) det 𝐴∗1 , … , 𝐴∗𝑖 + 𝐴∗𝑗 , … , 𝐴∗𝑛 =
det 𝐴∗1 , … , 𝐴∗𝑖 , … , 𝐴∗𝑛 + det 𝐴∗1 , … , 𝐴∗𝑗 , … , 𝐴∗𝑛

4) det 𝐼𝑛 = 1, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝐼𝑛 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑛

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1 4 1
(1) det 2 5 2 = 0
3 6 3
2∙1 4 7
(2) det 2 ∙ 2 3 1 = 2det
2∙3 5 2
3 1+4 7
(3) det 4 2 + 5 8 = det
5 3+6 2

1
2
3
3
4
5

4
3
5
1
2
3

7
1
2
7
3
8 + det 4
2
5

4 7
5 8
6 2

EJEMPLO: La función 𝑑𝑒𝑡: ℝ2𝑥2 ⟶ ℝ definida por
𝑎11
det 𝑎
21

𝑎12
𝑎22 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21

Es una función determinante pues satisface las cuatro propiedades de la
definición.

DeterminantesÁlgebra Lineal I

DEMOSTRACIÓN:
Si 𝑎11 = 𝑎12 , 𝑎21 = 𝑎22
𝑎11
Entonces det 𝑎
21

𝑎12
𝑎22 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎11 𝑎22 = 0
∴ se cumple 1)

𝑎11
Sea A =
𝑎21

𝑘𝑎12
,𝑘 ∈ ℝ
𝑘𝑎22

detA = 𝑎11 (𝑘𝑎22 ) − (𝑘𝑎12 )𝑎21

𝑎11
= 𝑘(𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 ) = 𝑘det 𝑎
21

∴ se cumple 2)

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𝑎12
𝑎22

Sea A =

𝑎11 + 𝑎′11
𝑎21 + 𝑎′21

𝑎12
, entonces
𝑎22

detA = (𝑎11 + 𝑎′11 ) 𝑎22 -(𝑎21 +𝑎′21 ) 𝑎12 = 𝑎11 𝑎22 + 𝑎′11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12 −
𝑎′ 21 𝑎12 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12 + 𝑎′11 𝑎22 − 𝑎′ 21 𝑎12 =
𝑎11
det 𝑎
21

𝑎12
𝑎′11
+
det
𝑎22
𝑎′21

𝑎12
𝑎22
∴ se cumple 3)

𝐼2 =

1 0
, entonces det𝐼2 = 1 ∙ 1 − 0 ∙ 0 = 1
0 1
∴ se cumple 4)

Por lo tanto podemos concluir que 𝑑𝑒𝑡: ℝ2𝑥2 ⟶ ℝ es un determinante

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TEOREMA. Para cada campo 𝕂, la función determinante es ÚNICA.
𝑑𝑒𝑡: 𝕂𝑛𝑥𝑛 ⟶ 𝕂𝐴⟼ 𝐴

Demostración. Ejercicio.

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PERMUTACIONES
DEFINICIÓN: Una permutación del conjunto 𝑆 = 1,2, … , 𝑛 es una función
biyectiva

𝜎: 𝑆 ⟶ 𝑆
EJEMPLO. Si 𝑆 = 1,2 , entonces existen dos funciones biyectivas de S en S, a
saber
𝜎1 : 𝑆 ⟶ 𝑆

𝜎2 : 𝑆 ⟶ 𝑆

𝜎1 1 = 1

𝜎2 1 = 2

𝜎1 2 = 2

𝜎2 2 = 1

Por lo tanto, existen 2 permutaciones 𝜎1 y 𝜎2 de S.

Determinantes Álgebra Lineal INota: Se acostumbra escribir una permutación 𝜎: 𝑆 ⟶ 𝑆 como
⋯ 𝑛
1
2
𝜎(1) 𝜎(2) ⋯ 𝜎(𝑛)
O bien, de manera más abreviada, se escribe
(𝜎 1 , 𝜎 2 , … , 𝜎(𝑛))
Así, en el ejemplo anterior, la primera permutación es 𝜎1 = (1, 2) y la
segunda permutación es 𝜎2 = (2, 1)
6 permutaciones.
EJERCICIO. Si 𝑆 = 1, 2, 3 entonces se obtienen las siguientes __

EJERCICIO. Si 𝑆 = 1, 2, 3, 4 , entonces existen 24permutaciones de S. Lístense
estas permutaciones como ejercicio.
Nota: Si 𝑆 = 1, 2, … , 𝑛 , entonces existen 𝑛! Permutaciones de S.

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Dado que las permutaciones son funciones de S en S, entonces se pueden
componer como sigue:
Sean 𝑆 = 1, 2, … , 𝑛 y 𝜎: 𝑆 ⟶ 𝑆 y τ: 𝑆 ⟶ 𝑆, dos permutaciones de S,
entonces la composición:
𝜎 ∘ 𝜏: 𝑆 ⟶ 𝑆

Es una función biyectiva, por lo que es unapermutación de S, definida por:
𝜎∘𝜏 𝑖 =𝜎 𝜏 𝑖

∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

EJEMPLO. Sean 𝑆 = 1, 2, 3, 4 , 𝜎 = 4, 3, 2,1 𝑦 𝜏 = (3, 1, 4, 2), entonces:
𝜎 ∘ 𝜏=(2, 4, 1, 3).
EJERCICIO. Sean 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5 , 𝜎 = 4, 3, 2,1, 5 y 𝜏 = (4, 1, 5, 3, 2).
Hallar 𝜎 ∘ 𝜏 y τ ∘ 𝜎.

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Nota: Dado que una permutación es una función biyectiva de S en S, entonces existe
𝜎 −1 : 𝑆 ⟶ 𝑆, y además 𝜎 −1es biyectiva, luego 𝜎 −1 es una permutación de S.
Además, se tiene que 𝜎 ∘ 𝜎 −1 = 𝑖𝑑, y 𝜎 −1 ∘ 𝜎 = 𝑖𝑑, donde 𝑖𝑑=(1, 2, …, n).
EJEMPLO. Sea 𝜎 = (4, 1, 5, 3, 2) una permutación de 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5 . Halla 𝜎 −1 .

SOLUCIÓN. 𝜎 −1 = (2, 5, 4, 1, 3) y obsérvese que 𝜎 1 = 4, luego 𝜎 −1 4 = 1.
DEFINICIÓN. Una permutación 𝜎 del conjunto 𝑆 = 1, 2, … , 𝑛 es una
transposición de los enteros...