Notas De Curso Álgebra Lineal I Unidad 2

Álgebra Lineal

Unidad 2. Determinantes

UNIDAD 2
DETERMINANTES
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Sea A   aij  una matriz de orden nxn , entonces:
1) det A  det At
2) Si A ' es una matriz que se obtuvo de intercambiar dos de los renglones de
A , entonces det A '   det A
3) Si A ' es una matriz que se obtuvo de intercambiar dos de las columnas de A
, entonces det A '   det A
4) Si A tienedos renglones iguales entonces det A  0
5) Si A tiene dos columnas iguales entonces det A  0
6) Si A ' es una matriz que se obtiene multiplicando uno de los renglones de A
por una constante k , entonces det A '  k det A
7) Si A ' es una matriz que se obtiene multiplicando una de las columnas de A
por una constante k , entonces det A '  k det A
 A1* 
 A1* 
 A1* 






 A2* 
 A2*
 A2* 






'
8) Si A  
 , donde Ai*  Ri*  Ri* , entonces det A  det 
  det  ' 
 Ai* 
 Ri* 
 Ri* 












A
A
A
n
*
n
*
n
*






'
A*i
A*n  , donde A*i  C*i  C*i , entonces
9) Si A   A*1 A*2
det A  det

 A*1

A*2

C*i

A*n   det

A

*1

A*2

C*' i

10) Si A   aij  es una matriz triangular inferior o superior entonces
det A  a11a22ann

11) Si A  diag  a11 , a22 ,

, ann  , entonces det A  a11a22

A*n 

ann

12) det I n  1
13) Si A ' es una matriz que se obtiene de A sustituyendo uno de sus renglones
por él m i sm o m ás un m úl t i pl o escal ar d e ot ro ren gl ón , entonces
det A '  det A
14) Si A ' es una matriz que se obtiene de A sustituyendo una de sus columnas
por el l a m i sm a m ás un m úl t i pl o escalar de ot ra col um na , entonces
det A '  det A
15) Si A es una matriz con un renglón (columna) de ceros, entonces det A  0

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Unidad 2. Determinantes

Ejercicio.- Sea E una matriz elemental
a) Si E es del tipo 1, entonces D( E )  1
b) Si E es del tipo 2, entonces D( E )  k
c) Si E es del tipo 3, entonces D( E )  1
Ejercicio.- Sea E una matrizelemental de orden n y A una matriz de orden n
a) Si E es del tipo 1, entonces D( EA)  D( A)  (1) D( A)  D( E) D( A)
b) Si E es del tipo 2, entonces D( EA)  kD( A)  D( E ) D( A)
c) Si E es del tipo 3, entonces D( EA)  D( A)  (1) D( A)  D( E) D( A)
En conclusión, si E es una matriz elemental entonces: D( EA)  D( E) D( A)

Teorema 9.- Consideremos el conjunto
es no singular  D( A)  0

denúmeros reales y sea A 

nn

, entonces A

Demostración:
) Como A es no singular, es decir A es invertible, entonces existen matrices
elementales E1 , E2 ,..., EK tal que Ek ...E2 E1 A  I

 D( Ek ...E2 E1 A)  D( I )
 D[ Ek ( Ek 1...E2 E1 A)]  1
 D( Ek ) D( Ek 1...E2 E1 A)  1
 D( Ek ) D( Ek 1 )...D( E2 ) D( E1 ) D( A)  1
Pero D( Ei )  0, i  1, 2,..., k

 D( A)  0

) Supongamos que D(A)  0 . Sea E A la forma escalonada reducida de A , así existen

matrices elementales E1 , E2 ,..., EK tal que Ek ...E2 E1 A  EA . Además E A es triangular
superior.
P.D. EA  I .
Ahora D  Ek Ek 1...E2 E1 A  D  EA 
Entonces D  Ek  D  Ek 1  ...D  E2  D  E1  D  A  D  EA 

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Unidad 2. Determinantes

Pero D( Ei )  0, i  1, 2,..., kEntonces D( A)  0
Como las componentes de la diagonal de E A son todas distintas de cero y como E A es
escalonada reducida, entonces todos sus componentes son iguales a 1, y además por arriba
y por debajo de estos unos solo hay ceros.
Por lo tanto EA  I

 Ek ...E2 E1 A  I
 ( Ek ...E2 E1 ) A  I
 A es invertible

Y ya.

Corolario.- A es singular  D( A)  0

Teorema 10.- Sea A y B matrices ambasde orden n  n , entonces D( AB)  D( A) D( B) .
Demostración:
Caso 1) A es singular
Sí A es singular, entonces D( A)  0 , entonces D( A) D( B)  0
Probemos que D( AB)  0 , probar este resultado es equivalente a probar AB es singular.
Por contradicción supongamos que AB es no singular, entonces existe C de orden n tal
 A( BC )  I , entonces A es no singular!!
que ( AB)C  I
Llegamos a una...