Determinantes

Propiedades de los Determinantes
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM
a
26 de mayo de 2010

´
Indice
19.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2. La adjunta de una matriz cuadrada . . . .
19.3. Resultado clave 1 . . . . . . . . . . . . . .
19.4. El determinante: medida de invertibilidad
19.5. Determinate y la unicidad de un sistema .
19.6. Determinantes y dependencialineal . . . .
19.7. M´todo pr´ctico de c´lculo . . . . . . . .
e
a
a
19.8. Ejemplo del m´todo pr´ctico . . . . . . .
e
a

19.1.

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1
4
5
5
6
6
6
7

Propiedades

En esta secci´n se hace una lista de las propiedades m´s importantes de los determinantes. Para hacer una
o
a
ilustraci´n de las mismas, ejemplificaremos con una matriz 3 × 3 pero aplican para matrices de cualquier orden.
o
1. Paracualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo determinante:
|AT | = |A|

(1)

a1 a2 a3
a1 b1 c1
b1 b2 b3 = a2 b2 c2
c1 c2 c3
a3 b3 c3
2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de sus renglones (o columnas) por una constante distinta de
cero, entonces |B| = k |A|.
a1 a2 a3
a1 a2 a3
kb1 kb2 kb3 = k b1 b2 b3
c1 c2 c3
c1
c2
c3
a1 a2 ka3
a1 a2 a3
b1 b2 kb3 = k b1 b2 b3
c1 c2c3
c1 c2 kc3
3. Si B se obtiene de A intercambiando dos renglones (o columnas) cualesquiera |B| = −|A|.
a1 a2 a3
b1 b2 b3
b1 b2 b3 = − a1 a2 a3
c1 c2 c3
c1 c2 c3

a3 a2 a1
a1 a2 a3
b1 b2 b3 = − b3 b2 b1
c3 c2 c1
c1 c2 c3
4. Si B se obtiene de A sumando un m´ltiplo de un rengl´n (o columna) a otro rengl´n (o columna),
u
o
o
entonces |B| = |A|.
a1 a2 a3
a1
a2
a3
ka1 + b1 ka2+ b2 ka3 + b3 = b1 b2 b3
c1 c2 c3
c1
c2
c3
a1 a2 a3
a1 a2 ka2 + a3
b1 b2 kb2 + b3 = b1 b2 b3
c1 c2 c3
c1 c2 kc2 + c3
5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior), su determinante es el producto de los elementos de la
diagonal principal.
a11 ..
..
0 a22 .. = a11 a22 a33
0
0 a33
6. Si A tiene un rengl´n (o columna) de ceros, entonces |A| = 0.
o
a1 a2 a3
0 0 0 =0
c1 c2c3
a1 a2 0
b1 b2 0 = 0
c1 c2 0
7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son iguales, entonces |A| = 0.
a1 a2 a3
a1 a2 a3 = 0
c1 c2 c3
a1 a2 a1
b1 b2 b1 = 0
c1 c2 c1
8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son m´ltiplos entre s´ entonces |A| = 0.
u
ı,
a1
a2
a3
ka1 ka2 ka3 = 0
c1
c2
c3
a1 a2 ka1
b1 b2 kb1 = 0
c1 c2 kc1

2

9. Si A es cualquier matriz de n × n y kes cualquier escalar, entonces
|k A| = k n |A|
10. El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de los factores.
|AB| = |A| |B|

|A1 A2 · · · Am | = |A1 | |A2 | · · · |A3 |
De las propiedades anteriores se deduce que:
Teorema
Si A es invertible, entonces
|A−1 | =

1
|A|

Demostraci´n
o
Como AA−1 = I, tomando determinantes y aprovechando que eldeterminante de un producto es el producto
de los determinantes se tiene
|A| · A−1 = 1
de donde A−1 = 1/ |A|
Ejemplo 19.1
Obtenga el determinante de cada matriz:




6 −5 −1
1
1 4
0
0 
3 2
1. A =  0
2. B =  3
−2 −2
4 
−6 −6 6


−6
1
6
−2 6
6
5
5 −1  4. D =  0 2 −4
3. C = 
−10 −10
2
0 0 −3






Respuesta:
|A| = 0, pues tiene un rengl´n de...