Determinantes

*

*

Determinantes 1. Calcula los siguientes determinantes: 2 3 −4 a) 1 5 −3 −1 0 2 e)

∣

∣

b)

c)

d)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
−1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 0 3 4 2 5 −1 3 −2 1 0 2 3 −2 1 1
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

f)

∣ ∣

1 −1 2 0 2 1 3 1 0 1 −1 2 0 0 4 −1 3 −2 5 0 3 1 5 6 3 2 3 2

∣

1 5 2 −1

∣

g)

∣

2 −1 0 0 5 3 2 0 4 0 0 0 −1 2 1 −4 1 0 −3 2 0 32 0 2

∣

2. Calcula el valor de los siguientes determinantes: 10 10 10 5a 5b 5c a) a 2 b2 c 2

b)

c)

d)

∣ ∣ ∣ ∣

∣

f)

∣ ∣
3 a a a a a a a a a a 3 a a 3 a a a a a 3

a b c a−1 b2 c−1 a1 b−3 c2

∣
g)

1 1 1 a a1 a2 2 2 a  a1  a22 bc ca a b a2 b2 ab c c2

∣
h)

∣ ∣
a a a b b b b c c b c d b c d a b c d e

∣

e)

∣

a1 a a a a a1 a a a aa1 a a a a a1

∣

∣

1 1 1 ... 1 −1 0 1 ... 1 −1 −1 0 ... 1 . . . . . . . . . . . . . . . −1 −1 −1 ... 0

∣

i)

∣ ∣
n 1 1 ... 1 n 2 1 ... 1 n 1 3 ... 1 . . . . . . . . . . . . . . . n 1 1 ... n

j)

∣ ∣
1 n n . . . n n 2 n . . . n n ... n n ... n 3 ... n . . . . . . . . . n ... n

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: x 1 0 0 0 x 1 0 =0 a) 0 0 x 1 1 0 0 x

∣ ∣

c)

b)∣

1 1 1 1

1 1 1 2 3 x x x =0 2 4 6 x x x x 3 x6 x 9

∣

∣

1 x 3 2 x1 3 x2 1 1

x2 x3 x 22x 3 x 2 =0 2 x1 3 x 1 1

∣

4. Determina, cuando sea posible, la matriz inversa de las siguientes (se sugiere hacer, al menos en algunos casos, un doble desarrollo; usando el método de Gauss y el desarrollo por adjuntos): 1 0 1 1 −1 1 a) c) 2 1 1 2 1 2 −1 3 2 0 0 1

b)

   
31 0 −1 2 1 2 3 1

d)

   
∣



−3 2 1 0 1 −1 −2 −2 2



5. Indica cuándo son invertibles las siguientes matrices y encuentra su inversa en esos casos (siempre en función de los parámetros): 0 7 5 0 1 0 3 4 a a) c) a 0 b 7 0 5 −b 0 a

 




b)

1 a−3 −1 2−a


∣

d)

3x x x 0 3 x −x 0 0 x



6. Si a)

∣ ∣ ∣

a b =3 calcula, usando las propiedades delos determinantes, los siguientes: c d a2 b c2 d −c 3 d b) b d −a 3 b

∣

7. Siendo

a)

b)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
2z y x 2r p q 2c b a a c b x p z r y q

a b c x y z =3 , calcula: p q r c)

∣

ab x y pq

bc ca yz z x qr r  p

∣

8. Sin desarrollar los determinantes, demuestra la identidad:

∣ ∣∣ ∣
1 a 2 a 3 bc a a 2 1 b2 b3 = ca b b2 1 c 2 c 3 ab c c 2 9. (P.A.U. 2009)Dada la matriz: M=

 

m 1 2m m 1 2 0 1 1

 
1 1 1 . 9

se pide: a) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible. b) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M25 es invertible. c) Para m=-1 calcular, si es posible, la matriz inversa M-1 de M. 10.(P.A.U. 2008) Dada la matriz: A= 2 a1 1 2a 0 1 2 0 a1

se pide: a) Determinarel rango de A según los valores del parámetro a. b) Determinar cuándo la matriz A es invertible. Calcular su inversa para a=1. 11.(P.A.U. 2008) Dada la matriz de orden n: 1 1 1 −1 9 1 An = −1 −1 9 . . . −1 −1 −1 se pide: a) Calcular el determinante de la matriz A2. b) Calcular el determinante de la matriz A3. c) Calcular el determinante de la matriz A5.



... 1 ... 1 ... 1 ... . ... −1



12.(P.A.U. 2007) Estudiar el rango de la matriz A = según los valores del parámetro m.



m m−1 m m−1 m 1 m m 1 m−1

13.(P.A.U. 2007) Dada la matriz: M=



2 −1  2 − 1 2 −1 1


 

se pide: a) Determinar el rango de M según los valores del parámetro λ. b) Determinar cuándo la matriz M es invertible. Calcular su inversa para λ=1. c) (P.A.U. 2005) Calcular M-1 enfunción de λ cuando sea posible. 14.(P.A.U. 2006)Dadas las matrices A = 3 1 1 0 , I= −8 −3 0 1 a) Comprueba que det(A2)=(det(A))2 y que det(A+I)=det(A)+det(I). b) Sea M una matriz cuadrada de orden 2. ¿Se puede asegurar que se cumple que det(M2)=(det(M))2?. Razonar la respuesta. c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden 2, tales que: det(M+I)=det(M)+det(I)





15.(P.A.U. 2006)...